Explicação intuitiva da raiz da unidade

Como você explicaria intuitivamente o que é uma raiz unitária, no contexto do teste de raiz unitária?

Estou pensando em maneiras de explicar, da mesma maneira que fundei nesta questão .

O caso da raiz unitária é que eu sei (a propósito, pouco) que o teste da raiz unitária é usado para testar a estacionariedade em uma série temporal, mas é exatamente isso.

Como você explicaria isso ao leigo ou a uma pessoa que estudou um curso muito básico de estatística e probabilidade?

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Aceitei a resposta do whuber, pois é o que mais reflete o que pedi aqui. Mas apelo a todos que vieram aqui para ler as respostas de Patrick e Michael também, pois são o "próximo passo" natural para entender a raiz da unidade. Eles usam a matemática, mas de uma maneira muito intuitiva.

Ele acabara de chegar à ponte; e, sem olhar para onde estava indo, tropeçou em alguma coisa e o cone de abeto saltou de sua pata para o rio.

"Incomoda", disse Pooh, enquanto flutuava lentamente sob a ponte, e ele voltou para pegar outro cone de abeto que tinha uma rima. Mas então ele pensou que iria apenas olhar para o rio, porque era um dia tranquilo, então ele se deitou e olhou para ele, e ele se afastou lentamente sob ele. . . e, de repente, seu cone de abeto também escapou.

"Isso é engraçado", disse Pooh. "Larguei do outro lado", disse Pooh, "e saiu desse lado! Gostaria de saber se o faria novamente?"

AA Milne, A Casa no Pooh Corner (Capítulo VI. No qual Pooh inventa um novo jogo e o bisonho se junta.)

Aqui está uma imagem do fluxo ao longo da superfície da água:

As setas mostram a direção do fluxo e são conectadas por linhas de fluxo. Um cone de abeto tende a seguir a linha de fluxo em que cai. Mas nem sempre acontece da mesma maneira todas as vezes, mesmo quando é jogado no mesmo local no fluxo: variações aleatórias ao longo do caminho, causadas por turbulências na água, vento e outros caprichos da natureza, chutam-no para o vizinho linhas de fluxo.

Aqui, o cone de abeto foi derrubado perto do canto superior direito. Seguia mais ou menos as linhas de fluxo - que convergem e fluem para baixo e para a esquerda -, mas levaram pequenos desvios ao longo do caminho.

Um "processo autoregressivo" (processo AR) é uma sequência de números que se acredita se comportar como certos fluxos. A ilustração bidimensional corresponde a um processo no qual cada número é determinado por seus dois valores anteriores - mais um "desvio" aleatório. A analogia é feita interpretando cada par sucessivo na sequência como coordenadas de um ponto no fluxo. Instante a instante, o fluxo do fluxo altera as coordenadas do cone de abeto da mesma maneira matemática dada pelo processo AR.

Podemos recuperar o processo original da imagem baseada no fluxo, escrevendo as coordenadas de cada ponto ocupado pelo cone de abeto e depois apagando tudo, exceto o último número em cada conjunto de coordenadas.

A natureza - e os fluxos em particular - é mais rica e variada do que os fluxos correspondentes aos processos de RA. Como se supõe que cada número na sequência dependa da mesma maneira fixa de seus predecessores - além da parte de desvio aleatório -, os fluxos que ilustram os processos de RA exibem padrões limitados. Eles podem realmente parecer fluir como um riacho, como pode ser visto aqui. Eles também podem parecer o turbilhão em torno de um dreno. Os fluxos podem ocorrer ao contrário, parecendo jorrar para fora de um dreno. E eles podem parecer bocas de dois riachos batendo juntos: duas fontes de água fluem diretamente uma na outra e depois se separam para os lados. Mas é isso aí. Você não pode ter, digamos, um riacho com redemoinhos nas laterais. Os processos de RA são muito simples para isso.

Nesse fluxo, o cone de abeto foi derrubado no canto inferior direito e rapidamente transportado para o redemoinho no canto superior direito, apesar das pequenas mudanças aleatórias na posição em que foi submetido. Mas nunca para de se mover, devido aos mesmos movimentos aleatórios que o resgatam do esquecimento. As coordenadas do cone de abeto se movem um pouco - de fato, elas são vistas oscilando, no geral, em torno das coordenadas do centro do redemoinho. No primeiro fluxo, as coordenadas progrediram inevitavelmente ao longo do centro, que rapidamente capturaram o cone e o levaram mais rápido do que seus desvios aleatórios poderiam retardá-lo: eles tendem no tempo. Em contraste, circulando em torno de um redemoinho exemplifica um estacionáriaprocesso em que o cone de abeto é capturado; fluir para longe do riacho, no qual o cone flui para fora da vista - tendência - não é estacionário.

Aliás, quando o fluxo de um processo de recuperação de ativos se afasta rio abaixo, ele também acelera. Fica cada vez mais rápido à medida que o cone se move ao longo dele.

A natureza de um fluxo de RA é determinada por algumas direções especiais, "características", que geralmente são evidentes no diagrama de fluxo: linhas de fluxo parecem convergir ou vir dessas direções. Sempre se pode encontrar tantas direções características quanto coeficientes no processo de RA: duas nessas ilustrações. Associado a cada direção característica está um número, sua "raiz" ou "autovalor". Quando o tamanho do número é menor que a unidade, o fluxo nessa direção característica é direcionado para um local central. Quando o tamanho da raiz é maior que a unidade, o fluxo acelera para longe de um local central.$1$--é dominado pelas forças aleatórias que afetam o cone. É uma "caminhada aleatória". O cone pode se afastar lentamente, mas sem acelerar.

(Algumas das figuras exibem os valores de ambas as raízes em seus títulos.)

$1$

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Pooh e seus amigos encontraram um teste empírico de estacionariedade:

Agora, um dia, Pooh, Piglet, Rabbit e Roo estavam tocando Poohsticks juntos. Eles jogaram seus gravetos quando Rabbit disse "Vá!" e então eles correram para o outro lado da ponte, e agora estavam todos debruçados sobre a beira, esperando para ver quem sairia primeiro. Mas demorou muito tempo para chegar, porque o rio estava muito preguiçoso naquele dia e dificilmente parecia se importar se nunca chegasse lá.

"Eu posso ver o meu!" Roo chorou. "Não, eu não posso, é outra coisa. Você pode ver o seu, Leitão? Pensei que pudesse ver o meu, mas não podia. Aí está! Não, não é. Você pode ver a sua, Pooh? "

"Não", disse Pooh.

"Espero que meu pau esteja preso", disse Roo. "Coelho, meu pau está preso. Seu pau está preso, Leitão?"

"Eles sempre demoram mais do que você pensa", disse Rabbit.

Essa passagem, de 1928, poderia ser interpretada como o primeiro "teste de unidade Roo".

$AR(1)$

• $v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $\epsilon_i$$N(0,1)$

O processo 1 não tem raiz unitária. O processo 2 possui uma raiz de unidade. Você pode confirmar isso calculando polinômios característicos de acordo com a resposta de Michael.

$v_1 = 0$$v_{10} = 5$

O que acontece depois? Para onde esperamos que a sequência vá?

$\epsilon_{i} = 0$$v_{11} = 2.5$$v_{12} = 1.25$$v_{13} = 0.625$

$v_{11} = 5$$v_{12} = 5$$v_{13} = 5$

Portanto, uma intuição é que, quando uma "corrida de boa / má sorte" empurra um processo com uma raiz unitária, a sequência "fica presa na posição" pelo histórico de boa ou má sorte. Ele ainda mudará aleatoriamente, mas não há nada "forçando de volta". Por outro lado, quando não há raiz da unidade e o processo não explode, há uma "força" no processo que fará com que o processo volte à posição antiga, embora o ruído aleatório ainda o atrapalhe um pouco. .

$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

$BX_t = X_{t-1}$$X_t-aBX_t =e_t$