Qual é a diferença entre função geradora de momento e função geradora de probabilidade?


Respostas:


23

A função geradora de probabilidade é geralmente usada para variáveis ​​aleatórias com valor inteiro (não negativo), mas é realmente apenas um reempacotamento da função geradora de momento. Então os dois contêm a mesma informação.

Seja uma variável aleatória não negativa. Em seguida (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) a função de geração de probabilidade é definida como L ( z ) = E z X a função geradora momento e é M X ( t ) = E de e t X Agora defina para que . Então Portanto, para concluir, o relacionamento é simples: X

G(z)=EzX
MX(t)=EetX
e t = z L ( z ) = E z X = E ( E t ) X = E de e t X = H X ( t ) = H X ( log z ) L ( z ) = H X ( log z )logz=tet=z
G(z)=EzX=E(et)X=EetX=MX(t)=MX(logz)
G(z)=MX(logz)
EDIT   

@ Carl escreve em um comentário sobre esta minha fórmula "... o que é verdade, exceto quando é falso", então eu preciso ter alguns comentários. Obviamente, a igualdade assume que ambos estão definidos, e um domínio para a variável precisa ser fornecido. Eu pensei que o post era claro o suficiente sem essas formalidades, mas sim, às vezes sou muito informal. Mas há outro ponto: sim, a função geradora de probabilidade é usada principalmente para funções de massa de probabilidade (argumento não negativo), de onde vem o nome. Mas não há nada na definição que assuma isso; ele também pode ser usado para qualquer variável aleatória não negativa! A título de exemplo, tomar a distribuição exponencial com uma taxa, podemos calcular G(z)=MX(logz)z

G(z)=EzX=0zxexdx==11logz
que pode ser usada para todos os fins, usamos a função de geração de momentos e você pode verificar se os relacionamentos entre as duas funções são cumpridos. Normalmente não fazemos isso, provavelmente é mais prático usar as mesmas definições com (possivelmente) negativas e também com variáveis ​​não-negativas. Mas não é forçado pela matemática.

1
(+1) Mesmo que eu tenha uma resposta competitiva.
Carl Carl

(+1) Mais uma vez. Estranho, acho que se eu editar, posso votar novamente.
Carl

10

Vamos definir primeiro e depois especificar a diferença.

1) Na teoria da probabilidade e na estatística, a função geradora de momento (mgf) de uma variável aleatória com valor real é uma especificação alternativa de sua distribuição de probabilidade.

2) Na teoria das probabilidades , a função geradora de probabilidade (pgf) de uma variável aleatória discreta é uma representação de uma série de potências (a função geradora) da função de massa probabilística da variável aleatória.

O mgf pode ser considerado como uma generalização do pgf. A diferença está entre outras coisas é que a função de geração de probabilidade se aplica a variáveis ​​aleatórias discretas, enquanto a função de geração de momento se aplica a variáveis ​​aleatórias discretas e também a algumas variáveis ​​aleatórias contínuas. Por exemplo, ambos podem ser aplicados à distribuição de Poisson, pois é discreta. De fato, eles produzem um resultado da mesma forma; . Somente o mgf se aplica a uma distribuição normal e nem o mgf nem o pgf se aplicam à distribuição de Cauchy, mas por razões ligeiramente diferentes.eλ(z1)

Edit

Como aponta @kjetilbhalvorsen, o pgf se aplica a variáveis ​​aleatórias não negativas, e não apenas a variáveis ​​aleatórias discretas. Portanto, a entrada atual da Wikipedia na função de geração de probabilidade tem um erro de omissão e deve ser aprimorada.


1
O pgf e mgf da distribuição de Poisson, embora intimamente relacionados (como explicado na resposta postada por Kjetil Halvorsen), definitivamente não são "iguais".
whuber

G(z)=MX(logz)

1
@whuber Veja minha edição da minha resposta (será publicada em alguns minutos) para obter uma resposta a esta pergunta implícita.
precisa saber é o seguinte
Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.