"Variável aleatória absolutamente contínua" vs. "Variável aleatória contínua"?

No livro "Teoremas dos limites da teoria das probabilidades", de Valentin V. Petrov, vi uma distinção entre as definições de uma distribuição como "contínua" e "absolutamente contínua", que é afirmada da seguinte forma:

X P ( X ∈ B ) = 0 B P ( X ∈ B ) = 0 B$(*)$ "... A distribuição da variável aleatória é considerada contínua se para qualquer conjunto finito ou contável de pontos da linha real. ser absolutamente contínuo se para todos os conjuntos Borel de Lebesgue medem zero ... "$X$$P\left(X \in B\right)=0$$B$$P\left(X \in B\right)=0$$B$

O conceito com o qual estou familiarizado é:

$(\#)$ "Se uma variável aleatória tiver uma função de distribuição cumulativa contínua, será absolutamente contínua."

$\textbf{My questions are:}$ as duas descrições sobre "continuidade absoluta" estão em e falando sobre a mesma coisa? Se sim, como posso traduzir uma explicação para outra?( # $(*)$$(\#)$

Obrigado!

As descrições diferem: apenas a primeira está correta. Esta resposta explica como e por quê.$(*)$

Distribuições contínuas

Uma distribuição "contínua" é contínua no sentido usual de uma função contínua . Uma definição (geralmente a primeira que as pessoas encontram em sua educação) é que para cada e para qualquer número existe um (dependendo de e ) para os quais os valores de no - o bairro de varia mais que de .$F$x ϵ > 0 δ x ϵ F δ x ϵ F ( x )$x$$\epsilon\gt 0$$\delta$$x$$\epsilon$$F$$\delta$$x$$\epsilon$$F(x)$

É um pequeno passo disso para demonstrar que, quando um contínuo é a distribuição de uma variável aleatória , então para qualquer número . Afinal, a definição de continuidade implica que você pode reduzir para tornar tão pequeno quanto qualquer e, já que (1) essa probabilidade não é menor que e (2) pode ser arbitrariamente pequeno, segue-se que . A aditividade contáveis de probabilidade estende-se este resultado a qualquer finito ou contáveis conjunto .$F$$X$$\Pr(X=x)=0$$x$$\delta$$\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$$\epsilon \gt 0$$\Pr(X=x)$$\epsilon$$\Pr(X=x)=0$$B$

Distribuições absolutamente contínuas

Todas as funções de distribuição definem medidas finitas positivas determinadas por$F$μ F $\mu_F$

A continuidade absoluta é um conceito da teoria da medida. Uma medida é absolutamente contínua em relação a outra medida (ambas definidas na mesma álgebra sigma) quando, para cada conjunto mensurável , implica . Em outras palavras, em relação a , não há conjuntos "pequenos" (medida zero) aos quais atribui "grande" (diferente de zero).$\mu_F$$\lambda$$E$$\lambda(E)=0$$\mu_F(E)=0$$\lambda$$\mu_F$

Vamos considerar como a medida usual de Lebesgue, para a qual é a duração de um intervalo.A segunda metade de afirma que a medida de probabilidade é absolutamente contínuo em relação à medida de Lebesgue.$\lambda$$\lambda((a,b]) = b-a$$(*)$$\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

A continuidade absoluta está relacionada à diferenciabilidade. A derivada de uma medida em relação a outra (em algum momento ) é um conceito intuitivo: pegue um conjunto de vizinhanças mensuráveis ​​de que se reduzam a compare as duas medidas nessas vizinhanças. Se eles sempre se aproximam do mesmo limite, independentemente da sequência de bairros escolhida, esse limite é a derivada. (Existe uma questão técnica: você precisa restringir esses bairros para que eles não tenham formas "patológicas". Isso pode ser feito exigindo que cada bairro ocupe uma parte não negligenciável da região em que se encontra.)$x$$x$$x$

Diferenciação nesse sentido é exatamente qual é a pergunta em Qual é a definição de probabilidade em uma distribuição contínua? está endereçando.

Vamos escrever para a derivada de com relação a . O teorema relevante - é uma versão teórica da medida do teorema fundamental do cálculo -$D_\lambda(\mu_F)$$\mu_F$$\lambda$

$\mu_F$ é absolutamente contínuo em relação a se e somente se para cada conjunto mensurável . [Rudin, Teorema 8.6]$\lambda$

$$\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$$ $E$

Em outras palavras, a continuidade absoluta (de em relação a ) é equivalente à existência de uma função de densidade .$\mu_F$$\lambda$D λ ( μ F ) $D_\lambda(\mu_F)$

Sumário

1. Uma distribuição é contínua quando é contínua como uma função: intuitivamente, não possui "saltos".$F$$F$

2. Uma distribuição é absolutamente contínua quando possui uma função de densidade (com relação à medida de Lebesgue).$F$

O fato de os dois tipos de continuidade não serem equivalentes é demonstrado por exemplos, como o relatado em https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . Esta é a famosa função Cantor . Para esta função, está quase em toda parte horizontal (como mostra o gráfico), de onde está quase em todo lugar zero e, portanto, . Obviamente, isso não fornece o valor correto de (de acordo com o axioma da probabilidade total).$F$$D_\lambda(\mu_F)$$\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$$1$

Comentários

Praticamente todas as distribuições usadas em aplicações estatísticas são absolutamente contínuas, em nenhum lugar contínuas (discretas) ou misturas das mesmas; portanto, a distinção entre continuidade e continuidade absoluta é frequentemente ignorada. No entanto, deixar de apreciar essa distinção pode levar a raciocínio enlameado e má intuição, especialmente nos casos em que o rigor é mais necessário: a saber, quando uma situação é confusa ou pouco intuitiva, por isso contamos com a matemática para nos levar a corrigir resultados. É por isso que geralmente não fazemos muito disso na prática, mas todos devem saber sobre isso.

Referência

Rudin, Walter. Análise Real e Complexa . McGraw-Hill, 1974: seções 6.2 (Continuidade absoluta) e 8.1 (Derivadas de medidas).