Quando a lei dos grandes números falha?

A questão é simplesmente o que é afirmado no título: Quando a lei dos grandes números falha? O que quero dizer é: em que casos a frequência de um evento não tenderá à probabilidade teórica?

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— emanuele
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Existem dois teoremas (de Kolmogorov) e ambos exigem que o valor esperado seja finito. O primeiro é válido quando as variáveis são IID, o segundo, quando a amostragem é independente e a variação do satisfaz $X_n$

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{V (X_{n})}{n^{2}} < \infty

$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$

Digamos que todos os tenham o valor esperado 0, mas sua variação é para que a condição obviamente falhe. O que acontece depois? Ainda é possível calcular uma média estimada, mas essa média não tenderá a 0 à medida que você amostrar cada vez mais fundo. Tende a se desviar cada vez mais à medida que você continua a amostragem. $X_n$ $n^2$

Vamos dar um exemplo. Diga que é uniforme modo que a condição acima falhe epicamente. $X_n$ $U(-n2^n , n2^n)$

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{V (X_{n})}{n^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{2 n + 2}}{12} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{3} \sum_{n = 1}^{\infty} 4^{n} = \infty .

$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$

Ao notar que

{\bar{X}}_{n} = \frac{X_{n}}{n} + \frac{n - 1}{n} {\bar{X}}_{n - 1},

$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$

vemos por indução que a média calculada está sempre dentro do intervalo . Usando a mesma fórmula de , que também ver que há sempre uma possibilidade maior do que que se encontra fora . De fato, $\bar{X}_n$ $(-2^n, 2^n)$ $n+1$ $1/8$ $\bar{X}_{n+1}$ $(-2^n, 2^n)$ é uniformee encontra-se foracom uma probabilidade de. Por outro lado, $\frac{X_{n+1}}{n+1}$ $U(-2^{n+1},2^{n+1})$ $(-2^n, 2^n)$ $1/4$ é empor indução, e por simetria é positiva com probabilidade. A partir destas observações segue-se imediatamente queé superior aou menor do que, cada um com uma probabilidade maior do que. Desde a probabilidade de que $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$ $(-2^n, 2^n)$ $1/2$ $\bar{X}_{n+1}$ $2^n$ $-2^n$ $1/16$ é maior do que , não pode haver convergência para 0, quando tende ao infinito. $|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$ $1/8$ $n$

Agora, para responder especificamente a sua pergunta, considere um evento . Se eu entendi bem, você pergunta "em que condições a declaração a seguir é falsa?" $A$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} 1_{A} (X_{k}) = P (X \in A), [P] a . s .

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$

$1_A$ $A$ $1_A(X_k) = 1$ $X_k \in A$ $0$ $X_k$ $X$

$X_k$

$X_k$ $X_1$ $k$ $n$ $A$

— gui11aume
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Um comentário. Na wikipedia (página lnl), li que a não finitude da variante apenas desacelera a convergência do valor médio. É diferente do que você afirma?

— Emanuele

Vocês dois estão discutindo a mesma lei? A pergunta é sobre frequências de eventos, enquanto essa resposta parece focar na distribuição amostral de uma média . Embora exista uma conexão, ela ainda não apareceu explicitamente aqui, até onde eu sei.

— whuber

@whuber True. Eu me concentrei demais no título da pergunta. Obrigado por apontar. Eu atualizei a resposta.

— precisa

@ gui11aume não entendo "Vemos que a condição acima se manterá, porque a variação de uma função de indicador é delimitada acima por 1/4.". O que isso significa?

— Emanuele

Se eles são distribuídos de forma idêntica, mas não independentes, o limite em questão pode não existir.

— cardeal