Ouvi dizer que proporções ou inversas de variáveis aleatórias geralmente são problemáticas, por não ter expectativas. Por que é que?

25

O título é a pergunta. Disseram-me que proporções e inversas de variáveis aleatórias geralmente são problemáticas. O que se quer dizer é que a expectativa geralmente não existe. Existe uma explicação simples e geral disso?

— kjetil b halvorsen
fonte

25

Eu gostaria de oferecer uma explicação muito simples e intuitiva. Isso equivale a olhar para uma figura: o restante deste post explica a figura e tira conclusões dela.

Aqui está o que se resume: quando há uma "massa de probabilidade" concentrada perto de , haverá muita probabilidade perto de , fazendo com que sua expectativa seja indefinida. $X=0$ $1/X\approx \pm \infty$

Em vez de ser totalmente geral, vamos nos concentrar nas variáveis aleatórias que possuem densidades contínuas em uma vizinhança de . Suponha . Visualmente, essas condições significam que o gráfico de está acima do eixo em torno de : $X$ $f_X$ $0$ $f_X(0)\ne 0$ $f$ $0$

A continuidade de torno de implica que, para qualquer altura positiva menor que e suficientemente pequeno , podemos esculpir um retângulo abaixo deste gráfico, centrado em torno de , com largura e altura , como mostrado. Isso corresponde a expressar a distribuição original como uma mistura de uma distribuição uniforme (com peso ) e o que resta. $f_X$ $0$ $p$ $f_X(0)$ $\epsilon$ $x=0$ $2\epsilon$ $p$ $p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

Em outras palavras, podemos pensar em como surgindo da seguinte maneira: $X$

Com probabilidade , desenhe um valor de uma distribuição Uniforme . $2p\epsilon$ $(-\epsilon,\epsilon)$
Caso contrário, desenhe um valor da distribuição cuja densidade seja proporcional a . (Esta é a função desenhada em amarelo à direita.) $f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

( é a função do indicador.) $I$

O passo mostra que, para qualquer , a chance de estar entre e exceder . Equivalentemente, essa é a chance de exceder . Em outras palavras: escrevendo para a função sobrevivente de $(1)$ $0 \lt u \lt \epsilon$ $X$ $0$ $u$ $p u / 2$ $1/X$ $1/u$ $S$ $1/X$

S (x) = Pr (1 / X > x),

$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$

a imagem mostra para todos . $S(x) \gt p / (2x)$ $x \gt 1/\epsilon$

Terminamos agora, porque esse fato sobre implica que a expectativa é indefinida. $S$ Compare as integrais envolvidas no cálculo da expectativa da parte positiva de , : $1/X$ $(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

E [(1 / X)_{+}] = \int_{0}^{\infty} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} \frac{p}{2 x} d x = \frac{p}{2} \log (x ϵ) .

$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$

(Esse é um argumento puramente geométrico: toda integral representa uma região bidimensional identificável e todas as desigualdades surgem de inclusões estritas nessas regiões. De fato, nem precisamos saber que a integral final é um logaritmo: existem formas geométricas simples argumentos mostrando essa integral divergem.)

Como o lado direito diverge como , diverge. A situação com a parte negativa de é a mesma (porque o retângulo é centrado em torno de ) e o mesmo argumento mostra que a expectativa da parte negativa de diverge. Conseqüentemente, a expectativa de si é indefinida. $x\to\infty$ $E[(1/X)_{+}]$ $1/X$ $0$ $1/X$ $1/X$

A propósito, o mesmo argumento mostra que, quando tem probabilidade concentrada em um lado de , como qualquer distribuição Exponencial ou Gama (com parâmetro de forma menor que ), ainda assim a expectativa positiva diverge, mas a expectativa negativa é zero. Nesse caso, a expectativa é definida, mas é infinita. $X$ $0$ $1$

— whuber
fonte

3

Estou certo ao suspeitar que a suposição é crucial para o resultado? Quero dizer, temos casos em que tem momentos pelo menos para algum intervalo de parâmetros envolvidos, e parece que é nos casos em que , como Gamma / Gamma Inverso

f_{X} (0) \neq 0

$f_X(0)\neq 0$

1 / X

$1/X$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0) = 0$

— Alecos Papadopoulos

3

@Alecos Não, essa suposição não é crucial. Isso e a continuidade de at tornam o argumento simples, mas nenhum é essencial. Considere um com densidade proporcional a para e . Isso é contínuo em mas não tem expectativa.

f

$f$

0

$0$

X

$X$

f_{X}

$f_X$

- 1 / \log (x)

$-1/\log(x)$

0 < x < 1 / e

$0 \lt x \lt 1/e$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0)=0$

0

$0$

1 / X

$1/X$

— whuber

15

Razões e inversos são principalmente significativos com variáveis aleatórias não negativas, portanto, assumirei quase certamente. Então, se é uma variável discreta que assume o valor zero com probabilidade positiva, estaremos dividindo com zero com uma probabilidade positiva, o que explica por que a expectativa de não existe. $X \ge 0$ $X$ $1/X$

Agora observe o caso de distribuição contínua, com uma variável aleatória com função de densidade . Vamos assumir que e que é contínuo (pelo menos em zero). Então existe um tal que para . O valor esperado de é dado por Agora vamos mudar a variável de integração para , temos , obtendo $X \ge 0$ $f(x)$ $f(0)>0$ $f$ $\epsilon > 0$ $f(x) > \epsilon$ $0 \le x < \epsilon$ $1/X$

E \frac{1}{X} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$

u = 1 / x

$u=1/x$

d u = - \frac{1}{x^{2}} d x

$du = -\frac1{x^2} \; dx$

E \frac{1}{X} = - \int_{\infty}^{0} u f (\frac{1}{u}) (\frac{1}{u})^{2} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u}) d u

$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$ Agora, por hipótese em então em , usando isso temos mostrando que a expectativa não existe. Um exemplo que cumpre essa suposição é a distribuição exponencial com a taxa 1.

f (u) > ϵ

$f(u) > \epsilon$

[0, ϵ)

$[0,\epsilon)$

f (\frac{1}{u}) > 1 / ϵ

$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$

(1 / ϵ, \infty)

$(1/\epsilon, \infty)$

E \frac{1}{X} > ϵ \int_{1 / ϵ}^{\infty} \frac{1}{u} d u = \infty

$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$

Demos uma resposta para inversos, e quanto a proporções? Seja a razão de duas variáveis aleatórias não-negativas. Se eles são independentes, podemos escrever portanto isso se reduz ao primeiro caso e não há muito o que dizer . E se eles forem dependentes, com fatoração da densidade articular como Então obtemos (usando a mesma substituição que a anterior) e podemos raciocinar como acima na integral interna. O resultado será que, se a densidade condicional (dado $Z=Y/X$

E Z = E \frac{Y}{X} = E Y \cdot E \frac{1}{x}

$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$

f (x, y) = f (x ∣ y) g (y)

$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$

E \frac{Y}{X} = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x ∣ y) d x g (y) d y = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u} ∣ y) d u g (y) d y

$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$

y

$y$ ) é positivo e contínuo em zero, para um conjunto de com probabilidade marginal positiva, a expectativa será infinita. Acho que não será fácil encontrar exemplos em que a expectativa marginal de seja infinita, mas a expectativa da razão é finita, a menos que haja uma correlação perfeita. Seria bom ver alguns exemplos!

y

$y$

1 / X

$1/X$

Y / X

$Y/X$

— kjetil b halvorsen
fonte

Ouvi dizer que proporções ou inversas de variáveis ​​aleatórias geralmente são problemáticas, por não ter expectativas. Por que é que?

Ouvi dizer que proporções ou inversas de variáveis aleatórias geralmente são problemáticas, por não ter expectativas. Por que é que?