Entropia de distribuição com subdistribuição uniforme


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Deixei Xser uma variável aleatória que aceita valores em um conjunto . A distribuição de não é uniforme, mas existe um subconjunto que é "uniforme": todos os eventos em ocorrem com igual probabilidade.XXAXA

Podemos relacionar a entropia de com o tamanho do conjunto ? Intuitivamente, parece que deveríamos poder dizer que a entropia de é pelo menos, mas não tenho certeza de como provar isso.XAXlog|A|

Por exemplo, quando a distribuição em é uniforme e o limite é mantido trivialmente.A=XX

Respostas:


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Simplesmente aplique a fórmula da entropia: o resultado cai imediatamente. A ideia é que apenas contribua com pelo menospara a entropia e quaisquer outros termos na fórmula de entropia só podem aumentá-la ainda mais. Detalhes a seguir.A

|A|(1|A|)log(1|A|)=log|A|

Primeiro, vamos esclarecer a linguagem: subconjuntos de geralmente não são considerados "eventos". é uma função de um espaço de probabilidade em . As imagens inversasXX(Ω,F,P)X

X1(a)={ωΩX(ω)=a}

são assumidos como subconjuntos mensuráveis ​​de e, como tal, são (no sentido convencional) eventos .Ω

Por conveniência, deixe n=|A| seja sua cardinalidade e deixe pser a probabilidade comum de todos os eventos em questão; isso é,

p=Pr(X1(a))

para qualquer .aA

Decomponha em e seu complemento, . O axioma da probabilidade total, juntamente com o fato de que a probabilidade de não é negativa, implicaΩX1(A)A¯=ΩX1(A)A¯

1=Pr(Ω)=Pr(A¯X)+Pr(X1(A))=Pr(A¯X)+aAPr(X1(a))=Pr(A¯X)+npnp.

Caso seja infinito, isso mostra que deve ser zero e será indefinido. Portanto, devemos assumir que é finito. Nesse caso, o cálculo anterior mostranplogpn

p1n.

No cálculo da entropia de , haverá termos correspondentes a que contribuem com valores não negativos para a entropia. Restam termos de . Cada uma delas contribui com para a entropia (por definição). Porque e é uma função crescente monotonicamente ( isto é , ), o total de tem um limite inferiorXX1(XA)nAplogpp1/nloglog(p)log(1/n)nplogp

nplogpn1nlog(1n)=logn=log|A|,

QED .

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