Como implementar a regularização L2 em direção a um ponto arbitrário no espaço?

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Aqui está algo que eu li no livro de Ian Goodfellow, Deep Learning .

No contexto de redes neurais ", a penalidade da norma de parâmetro L2 é comumente conhecida como decaimento de peso. Essa estratégia de regularização aproxima os pesos da origem [...]. Em geral, podemos regularizar os parâmetros para estarem próximos de qualquer ponto específico. no espaço ", mas é muito mais comum regularizar os parâmetros do modelo para zero. (Deep Learning, Goodfellow et al.)

Eu só estou curioso. Entendo que simplesmente adicionando um termo de regularização à nossa função de custo e que, ao minimizar esse custo total , podemos influenciar os parâmetros do modelo para permanecer pequeno: $J$

J (Θ, X, y) = L (Θ, X, y) + λ | | w | |_{2}^{2}

$J(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{y}) = L(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{y}) + \lambda||\boldsymbol{w}||_{2}^{2}$

Mas como se implementaria uma versão dessa estratégia de regularização que levaria os parâmetros a qualquer ponto arbitrário? (digamos que queremos que a norma tenda para 5)

— Julep
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Você realmente faz duas perguntas diferentes.

Ter a norma tendendo a 5 implica que você deseja que os pesos fiquem perto da superfície de uma hiperesfera centrada na origem com raio 5. Essa regularização parece algo como

J (Θ, X, y) = L (Θ, X, y) + λ (| | w | |_{2}^{2} - 5)^{2}

$J(\Theta, X, y) = L(\Theta, X, y) + \lambda (||w||_2^2-5)^2$

Mas você poderia usar algo como , suponho. $\lambda \cdot\text{abs}(||w||_2^2-5)$

Por outro lado, se você deseja tender para um ponto arbitrário, basta usar esse ponto como o centro . $c$

J (Θ, X, y) = L (Θ, X, y) + λ | | w - c | |_{2}^{2}

$J(\Theta, X, y) = L(\Theta, X, y) + \lambda ||w-c||_2^2$

— Sycorax diz restabelecer Monica
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(+1) Eu acho que uma maneira proveitosa para pensar sobre a "norma tende a cinco" poderia ser através da escolha do parâmetro de ajuste na versão de dada pelo OP (em vez de alterar a função)

J

$J$

— user795305

(. Eu escrevi uma resposta curta para esclarecer o que quero dizer com acima Obrigado, por sinal, para clarificar a distinção das duas perguntas!)

— user795305

um objetivo comum (prático) ao fazer que é regularizar em direção a algum ponto de operação conhecido, por exemplo, o modelo anterior que pretende substituir, mas para o qual você gostaria de um "suavizar" transição

— oDDsKooL

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DefinaSabemos que , devido à penalidade tem a origem como minimizador.

{\hat{w}}_{λ} = \arg min_{w} L (Θ, X, y) + λ ‖ w ‖_{2}^{2} .

$\hat w_\lambda = \arg\min_w L(\Theta, X, y) + \lambda \|w\|_2^2.$

lim_{λ \to \infty} {\hat{w}}_{λ} = 0

$\lim_{\lambda \to \infty} \hat w_\lambda = 0$

w \mapsto ‖ w ‖_{2}^{2}

$w \mapsto \|w\|_2^2$

A Sycorax ressalta que, da mesma forma,Essa generalização bem-sucedida pode nos levar a propor o estimador onde é uma função cujo minimizador satisfaz alguma propriedade que procuramos. De fato, o Sycorax usa , onde é (exclusivamente) minimizado na origem e, em particular, . Portanto, , conforme desejado. Infelizmente, porém, as duas opções de $\lim_{\lambda \to \infty} \left\{ \arg\min_w L(\Theta, X, y) + \lambda \|w-c\|_2^2 \right\} = c.$

{\tilde{w}}_{λ} = \arg min_{w} L (Θ, X, y) + λ p e n (w),

$\tilde w_\lambda = \arg\min_w L(\Theta, X, y) + \lambda \mathrm{pen}(w),$

p e n

$\mathrm{pen}$

p e n (w) = g (‖ w ‖_{2}^{2} - 5)

$\mathrm{pen}(w) = g(\|w\|_2^2 - 5)$

g

$g$

g \in {| \cdot |, (\cdot)^{2}}

$g \in \{|\cdot|, \, (\cdot)^2\}$

lim_{λ \to \infty} ‖ {\tilde{w}}_{λ} ‖_{2}^{2} = 5

$\lim_{\lambda \to \infty} \|\tilde w_\lambda \|_2^2 = 5$

g

$g$ levar a penalidades não-convexas, dificultando o cálculo do estimador.

A análise acima parece ser a melhor solução (talvez até a escolha de , para a qual não tenho uma melhor a sugerir) se insistirmos em como sendo a interpretação exclusiva de "tende a" descrita em a questão. No entanto, assumindo que , existe algum para que o minimizador do problema do OP seja satsifes . Portanto, sem a necessidade de alterar a função objetivo. Se não existir esse , o problema da computação $g$ $\lambda \to \infty$ $\|\arg\min_w L(\Theta, X, y) \|_2^2 \geq 5$ $\Lambda$ $\hat w_\Lambda$ $\|\hat w_\Lambda\|_2^2 = 5$

lim_{λ \to Λ} {‖ {\hat{w}}_{λ} ‖}_{2}^{2} = 5,

$\lim_{\lambda \to \Lambda} \left\| \hat w_\lambda \right\|_2^2 = 5,$

Λ

$\Lambda$

\arg min_{w : ‖ w ‖_{2}^{2} = 5} L (Θ, X, y)

$\arg\min_{w : \|w\|_2^2 = 5} L(\Theta, X, y)$ é intrinsecamente difícil. De fato, não há necessidade de considerar nenhum estimador além de ao tentar incentivar as propriedades naturais de .

{\hat{w}}_{λ}

$\hat w_\lambda$

‖ {\hat{w}}_{λ} ‖_{2}^{2}

$\|\hat w_\lambda\|_2^2$

(Forçar que um estimador penalizado atinja um valor da penalidade que não é atingido pelo estimador não-penalizado me parece altamente antinatural. Se alguém tiver conhecimento de algum lugar onde isso é de fato desejado, por favor, comente!)

— user795305
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Esta é uma excelente adição. +1

— Sycorax diz Reinstate Monica

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Para apropriado , é possível visualizá-lo como probabilidade logarítmica negativa e a regularização apropriada pode ser vista como probabilidade logarítmica negativa para distribuição anterior. Essa abordagem é chamada Máximo A Posteriori (MAP). $L$ $J$

Deve ser fácil ver os exemplos do Sycorax à luz do MAP.

Para detalhes do MAP, você pode ver estas notas . Pela minha experiência, pesquisar no Google 'regularização máxima a posteriori' dá bons resultados.

— Jakub Bartczuk
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