Como calcular um valor parcial esperado da distribuição beta (média de um beta truncado)?

Dada uma Distribuição Beta com a = 2, b = 3, podemos encontrar um valor esperado (média) para o intervalo [0, 1] = a / (a ​​+ b) = 2/5 = 0,4 e mediana = (a - 1/3) / (a ​​+ b-2/3) = 0,39, que estão próximos.

Eu estou procurando uma solução em python. Posso usar scipy.stats.beta para calcular a mediana do intervalo [0, 0,4] com a função de ponto percentual (inverso de cdf - percentis):

beta.ppf(0.4/2,a,b) = 0.2504

Como para esta distribuição beta, a média geral e a mediana são próximas (0,4 e 0,39, respectivamente), eu uso a mediana para o intervalo [0, 0,4] para estimar os valores esperados (média) para o intervalo [0, 0,4].

Existe alguma maneira de calcular os valores esperados (média) para o intervalo [0, 0,4]?

Observe que a fórmula que você tem no topo da mediana beta ( ) é aproximada. Você deve poder calcular uma mediana numérica efetivamente "exata" com o cdf inverso (função quantil) da distribuição beta no Python (para um , recebo uma mediana de cerca de enquanto isso é aproximado fórmula dá ).$\frac{\alpha-\frac13}{\alpha+\beta-\frac23}$$\text{beta}(2,3)$$0.3857$$0.3846$

Essa média de uma distribuição truncada é bastante direta com uma versão beta. Para uma variável aleatória positiva, temos

$E(X|X<k) = \int_0^k x\,f(x)\, dx / \int_0^k f(x)\, dx$

onde, neste caso, é a densidade de um beta com os parâmetros e (que agora vou escrever como ):$f$$\alpha$$\beta$$f(x;\alpha,\beta)$

$f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}\,,\:0<x<1,\alpha,\beta>0$

Portanto,$x\,f(x) = \frac{B(\alpha+1,\beta)}{B(\alpha,\beta)} f(x;\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} f(x;\alpha+1,\beta)$

Então$E(X|X<k) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \int_0^k f(x;\alpha+1,\beta)\, dx / \int_0^k f(x;\alpha,\beta)\,dx$

Agora, as duas integrais são apenas CDFs beta que você já possui no Python.

Com , obtemos . Isso é consistente com a simulação ( simulações ).$\alpha=2,\beta=3,k=0.4$$E(X|X<0.4)\approx 0.24195$$10^6$$\approx 0.24194$

Para a mediana, obtenho , o que é novamente consistente com a simulação ( simulações deram ).$F^{-1}(\frac12 F(0.4;2,3);2,3)\approx 0.25040$$10^6$$\approx 0.25038$

Os dois são bem próximos nesse caso, mas esse não é um resultado geral; às vezes podem ser mais substancialmente diferentes.