Se X e Y não estão correlacionados, X ^ 2 e Y também não estão correlacionados?


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Se duas variáveis ​​aleatórias e não estão correlacionadas, também podemos saber que e não correlacionam? Minha hipótese é sim.XYX2Y

X,Y não correlacionado significa , ouE[XY]=E[X]E[Y]

E[XY]=xyfX(x)fY(y)dxdy=xfX(x)dxyfY(y)dy=E[X]E[Y]

Isso também significa o seguinte?

E[X2Y]=x2yfX(x)fY(y)dxdy=x2fX(x)dxyfY(y)dy=E[X2]E[Y]

4
Sim. Esta pergunta foi feita e respondida antes, mas não consigo encontrar uma referência específica no meu dispositivo móvel.
precisa saber é o seguinte

2
@DilipSarwate, parece que a resposta aceita já fornece um exemplo contrário.
Vim

8
@DilipSarwate Você deve ter significado "Não" em vez de "Sim" no seu comentário!
Ameba diz Reinstate Monica

11
@amoeba A versão original da pergunta sobre independência, para a qual a resposta é sim. Desde então, foi editado para perguntar sobre variáveis ​​aleatórias não correlacionadas. Não posso mudar meu comentário agora.
precisa saber é o seguinte

A pergunta original estava bastante confusa, pois usava uma definição errada de independência. A pergunta atual ainda está confusa, pois afirma que uma dedução inadequada não está correlacionada (assume ). Espero que @vegardstikbakke leia sobre as definições adequadas de independente e não correlacionado, com alguns exemplos. fXY(x,y)=fX(x)fY(y)
Meni Rosenfeld 10/09

Respostas:


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Não. Um contra-exemplo:

Seja uniformemente distribuído em , .[ - 1 , 1 ] Y = X 2X[1,1]Y=X2

Então e também ( é uma função ímpar), então não são correlacionados.E [ X Y ] = E [ X 3 ] = 0 X 3 X , YE[X]=0E[XY]=E[X3]=0X3X,Y

MasE[X2Y]=E[X4]=E[X22]>E[X2]2=E[X2]E[Y]

A última desigualdade decorre da desigualdade de Jensen. Também decorre do fato de que pois não é constante.E[X22]E[X2]2=Var(X)>0X


O problema com seu raciocínio é que pode depender de vice-versa, portanto sua penúltima igualdade é inválida.fXy


8
Não há necessidade de complicar a desigualdade de Jensen; é uma variável aleatória não negativa e não é wp 1, então (ou você pode simplesmente fazer e facilmente ver seu positivo ) X40E[X4]>011x4dx
Batman

1
Você também deve adicionar um gráfico. Eu estava considerando um exemplo semelhante (Y = | X | em -1: +1), mas o teria apresentado visualmente.
Anony-Mousse

2
@Batman: Eu realmente não vejo como isso lhe dá algo, pois estamos interessados ​​seE[X22]E[X2]2>0
Jakub Bartczuk,

1
@ Anony-Mousse Não há necessidade de restringir Y. Y = | X | atende ao requisito.
Loren Pechtel

LorenPechtel para visualização. Porque o IMHO é melhor ver por que isso pode acontecer, e não apenas que o resultado da matemática é o desejado.
Anony-Mousse

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Mesmo se , não só é possível que e estejam correlacionados, mas eles podem até estar perfeitamente correlacionados, com :Corr(X,Y)=0X2YCorr(X2,Y)=1

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Ou :Corr(X2,Y)=1

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

Caso você não consiga ler o código R , o primeiro exemplo é equivalente a considerar duas variáveis ​​aleatórias e com uma distribuição conjunta tal que seja igualmente provável que seja , ou . No exemplo perfeitamente correlacionado negativamente, é igualmente provável que seja , ou .XY(X,Y)(1,1)(0,0)(1,1)(X,Y)(1,1)(0,0)(1,1)

No entanto, também podemos construir e modo que , para que todos os extremos sejam possíveis:XYCorr(X2,Y)=0

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

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O erro no seu raciocínio é que você escreve o seguinte sobre : enquanto em geral Os dois coincidem se , ou seja, se e são independentes. Ser não correlacionado é uma condição necessária, mas não suficiente, para ser independente. Portanto, se duas variáveis e não estão correlacionados, mas dependente, em seguida, e podem ser correlacionados.E[h(X,Y)]

E[h(X,Y)]=h(x,y)fX(x)fY(y)dxdy
f X Y ( x , y ) = f X ( X ) f Y ( Y )
E[h(X,Y)]=h(x,y)fXY(x,y)dxdy.
fXY(x,y)=fX(x)fY(y)Y X Y f ( X ) g ( Y )XYXYf(X)g(Y)
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