Por que ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Estamos lidando com a distribuição lognormal em um curso de finanças e meu livro apenas afirma que isso é verdade, o que acho frustrante, pois meus conhecimentos em matemática não são muito fortes, mas quero a intuição. Alguém pode me mostrar por que esse é o caso?

Lembre-se de que $e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

agora pegue logs de ambos os lados

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

Alternativamente:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (onde )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$$\ln(t+1)\leq t$

Agora assuma as expectativas de ambos os lados:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Uma ilustração (mostrando a conexão com a desigualdade de Jensen):

( Aqui, os papéis de X e Y são intercambiados para que correspondam aos eixos da plotagem; um melhor planejamento trocaria seus papéis acima para que a plotagem correspondesse mais diretamente à álgebra. )

As linhas coloridas sólidas representam médias em cada eixo.

$X$$Y$$Y$