Por que a expectativa é igual à média aritmética?

Hoje me deparei com um novo tópico chamado Expectativa Matemática. O livro que estou seguindo diz que a expectativa é a média aritmética de variável aleatória proveniente de qualquer distribuição de probabilidade. Porém, define expectativa como a soma do produto de alguns dados e a probabilidade deles. Como esses dois (média e expectativa) podem ser os mesmos? Como a soma da probabilidade vezes os dados pode ser a média de toda a distribuição?

Informalmente, uma distribuição de probabilidade define a frequência relativa dos resultados de uma variável aleatória - o valor esperado pode ser pensado como uma média ponderada desses resultados (ponderada pela frequência relativa). Da mesma forma, o valor esperado pode ser pensado como a média aritmética de um conjunto de números gerado na proporção exata de sua probabilidade de ocorrência (no caso de uma variável aleatória contínua, isso não é exatamente verdadeiro, pois valores específicos têm probabilidade ).$0$

A conexão entre o valor esperado e a média aritmética é mais clara com uma variável aleatória discreta, onde o valor esperado é

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

onde é o espaço de amostra. Como exemplo, suponha que você tenha uma variável aleatória discreta tal que:$S$$X$

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

Ou seja, a função de massa de probabilidade é , e . Usando a fórmula acima, o valor esperado é$P(X=1)=1/8$$P(X=2)=3/8$$P(X=3)=1/2$

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

Agora considere os números gerados com frequências exatamente proporcionais à função de massa de probabilidade - por exemplo, o conjunto de números - dois s, seis oito s. Agora pegue a média aritmética desses números:$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$$1$$2$$3$

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

e você pode ver que é exatamente igual ao valor esperado.

A expectativa é o valor médio ou média de uma variável aleatória e não uma distribuição de probabilidade. Como tal, é para variáveis ​​aleatórias discretas a média ponderada dos valores que a variável aleatória assume onde a ponderação está de acordo com a frequência relativa de ocorrência desses valores individuais. Para uma variável aleatória absolutamente contínua, é a integral dos valores x multiplicada pela densidade de probabilidade. Os dados observados podem ser vistos como os valores de uma coleção de variáveis ​​aleatórias independentes distribuídas de forma idêntica. A média da amostra (ou expectativa da amostra) é definida como a expectativa dos dados em relação à distribuição empírica dos dados observados. Isso torna simplesmente a média aritmética dos dados.

Vamos prestar muita atenção às definições:

Média é definida como a soma de uma coleção de números dividida pelo número de números na coleção. O cálculo seria "para i em 1 para n, (soma de x sub i) dividido por n".

O valor esperado (EV) é o valor médio de longo prazo das repetições do experimento que ele representa. O cálculo seria "para i em 1 a n, soma do evento x subi vezes sua probabilidade (e a soma de todos os p sub i deve = 1)".

No caso de um dado justo, é fácil ver que a média e o VE são os mesmos. Média - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 - 3,5 e EV seria:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0,167 6 1,00

EV = soma (p * x) = 3,50

Mas e se o dado não fosse "justo"? Uma maneira fácil de fazer uma matriz injusta seria fazer um furo no canto na interseção das faces 4, 5 e 6. Além disso, digamos agora que a probabilidade de rolar um 4, 5 ou 6 em nosso dado torto novo e aprimorado é agora 0,2 e a probabilidade de rolar um 1, 2 ou 3 agora é 0,13. É o mesmo dado com 6 faces, um número em cada face e a média para esse dado ainda é 3,5. No entanto, depois de rolar esse dado muitas vezes, nosso VE agora é 3,8, porque as probabilidades dos eventos não são mais as mesmas para todos os eventos.

prob xp * x

0,133 1 0,13

0,133 2 0,27

0,133 3 0,40

0,200 4 0,80

0,200 5 1,00

0,200 6 1,20

EV = soma (p * x) = 3,80

Novamente, tenhamos cuidado e voltemos à definição antes de concluir que uma coisa sempre será "a mesma" que outra. Veja como uma matriz normal é montada e faça um furo nos outros 7 cantos e veja como os EVs mudam - divirta-se.

Bob_T

A única diferença entre "média" e "valor esperado" é que a média é usada principalmente para distribuição de frequência e a expectativa é usada para distribuição de probabilidade. Na distribuição de frequências, o espaço amostral consiste em variáveis ​​e suas frequências de ocorrência. Na distribuição de probabilidade, o espaço amostral consiste em variáveis ​​aleatórias e suas probabilidades. Agora sabemos que a probabilidade total de todas as variáveis ​​no espaço amostral deve ser = 1. Aqui reside a diferença básica. O termo denominador para expectativa é sempre = 1. (ou seja, somatório f (xi) = 1) No entanto, não existem restrições no somatório de frequência (que é basicamente o número total de entradas).