Podemos concluir a partir de que são independentes?

Bem, não podemos, por exemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence para um contra-exemplo interessante. Mas a verdadeira questão é: existe alguma maneira de fortalecer a condição para que a independência se siga? Por exemplo, existe algum conjunto de funções modo que se para todos os , segue a independência? E quão grande deve ser esse conjunto de funções, infinito? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

Além disso, existe alguma boa referência que trate essa questão?

— kjetil b halvorsen
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você teve alguma sorte com isso? Eu adoraria ver se há um conjunto finito de funções que funciona para qualquer par de RVs e, especialmente, a justificação é algo diferente de CDF fatoração

— JLD

Vou dar uma olhada! Duvido que exista, em geral, um conjunto finito, mas qualquer conjunto que seja a base de um conjunto linear de funções deve funcionar (por exemplo, se tiverem valores em , conjunto de polinómios linearmente independentes (ou outras funções) deve fazer.

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— b Kjetil HALVORSEN

Seja um espaço de probabilidade. Por definição, duas variáveis aleatórias são independentes se suas -algebras e são independentes, ou seja, temos . $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Deixe e pegue (obrigado a @grand_chat por apontar que é suficiente). Então temos e $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Se assumirmos que , podemos apelar para o teorema para mostrar que isto é . $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Portanto, a menos que eu tenha cometido um erro, temos pelo menos uma coleção contável dessas funções e isso se aplica a qualquer par de variáveis aleatórias definidas em um espaço de probabilidade comum.

— jld
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O que você mostrou, na verdade? Embora você tenha definido uma coleção incontável de funções, onde demonstrou que todas elas são necessárias? É difícil imaginar que tal quantidade de funções seja necessária quando e possuem conjuntos finitos de valores possíveis, por exemplo.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber eu estava tentando responder à pergunta sobre se existe ou não uma coleção de funções. Concordo que o aspecto mais interessante é encontrar um mínimo tal conjunto (que eu ainda estou trabalhando)

— JLD

Você pode reduzir a um conjunto contável considerando apenas racional .

G

$G$

a

$a$

— grand_chat 19/09/17

@grand_chat grande ponto, eu atualizei

— jld