Usos na vida real das funções geradoras de momento

Nos cursos mais básicos da teoria das probabilidades, as funções geradoras de momento relatado (mgf) são úteis para calcular os momentos de uma variável aleatória. Em particular a expectativa e variação. Agora, na maioria dos cursos, os exemplos que eles fornecem para expectativa e variação podem ser resolvidos analiticamente usando as definições.

Existem exemplos reais de distribuições nas quais é difícil fazer analiticamente a expectativa e a variação e, portanto, era necessário o uso de mgf? Estou perguntando porque sinto que não consigo entender exatamente por que eles são importantes nos cursos básicos.

Você está certo que os mgf podem parecer um pouco desmotivados nos cursos introdutórios. Então, alguns exemplos de uso. Primeiro, em problemas discretos de probabilidade, geralmente usamos a função de geração de probabilidade, mas essa é apenas uma embalagem diferente do mgf, consulte Qual é a diferença entre a função de geração de momento e a função de geração de probabilidade? . O pgf pode ser usado para resolver alguns problemas de probabilidade que poderiam ser difíceis de resolver, caso contrário, para um exemplo recente neste site, consulte o PMF do número de tentativas necessárias para duas cabeças sucessivas ou a soma das distribuições de gama e sendo uma distribuição de poisson$N$$N$. Algumas aplicações não tão óbvias que ainda poderiam ser usadas em um curso introdutório são dadas em Expectativa de recíproca de uma variável , Valor esperado de quando segue uma distribuição Beta$1/x$$x$ e Para RVs independentes , faz implica ? $X_1,X_2,X_3$$X_1+X_2\stackrel{d}{=}X_1+X_3$$X_2\stackrel{d}{=}X_3$.

Outro tipo de uso é a construção de aproximações de distribuições de probabilidade, um exemplo é a aproximação do ponto de sela, que toma como ponto de partida os logaritmos naturais do mgf, denominados função geradora de cumulantes. Consulte Como funciona a aproximação do ponto de sela? e, para alguns exemplos, consulte Encadernado para a soma ponderada das variáveis ​​aleatórias Poisson e a soma genérica das variáveis ​​aleatórias Gamma.

Mgf's também podem ser usados ​​para provar teoremas de limite, por exemplo, o limite de poisson de distribuições binomiais Entenda intuitivamente por que a distribuição de Poisson é o caso limitante da distribuição binomial que pode ser provada por mgf's.

Alguns exemplos (séries de exercícios com soluções) de uso atuarial da MGF pode ser encontrada aqui: https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/370/370mgfproblemssol.pdf Pesquisar na Internet com "função geradora momento atuarial" dará muitos exemplos semelhantes. Os atuários parecem estar usando o mgf's para resolver alguns problemas (que surgem para instâncias em cálculos premium) que são difíceis de resolver de outra forma. Um exemplo na seção 3.5, página 21, e livros sobre a teoria do risco atuarial . Uma fonte de mgf (estimada) para essas aplicações pode ser mgf empírica (estranhamente, não consigo encontrar um post aqui sobre as funções geradoras de momento empírico).

Existem exemplos reais de distribuições nas quais é difícil fazer analiticamente a expectativa e a variação e, portanto, era necessário o uso de mgf?

Existem muitos problemas em que é difícil encontrar a média e a variação usando suas fórmulas padrão como uma soma / integral sobre a massa / densidade. Um exemplo em que isso é difícil, mas não impossível, é a distribuição do coletor de cupons , que possui função de massa de probabilidade:

onde a função denota os números de Stirling do segundo tipo . Se você tentar usar o método padrão aqui, terá uma fórmula recursiva envolvendo os números de Stirling, e isso é complicado de se trabalhar. Um método mais simples de obter a média e a variância é derivar a função geradora cumulante (logaritmo da função geradora de momento) que não contém mais os números de Stirling. É então relativamente simples obter os cumulantes da distribuição. Eu recomendo que você experimente este exercício usando os dois métodos para entender o que quero dizer.$S$