Erro na aproximação normal de uma distribuição de soma uniforme

Um método ingênuo para aproximar uma distribuição normal é adicionar talvez variáveis aleatórias de IID uniformemente distribuídas em , depois mais recentes e redimensionar, contando com o Teorema do Limite Central. ( Observação : existem métodos mais precisos, como a transformação Box-Muller .) A soma das variáveis aleatórias IID é conhecida como distribuição uniforme da soma ou distribuição Irwin-Hall . $100$ $[0,1]$ $U(0,1)$

Qual o tamanho do erro na aproximação de uma distribuição de soma uniforme por uma distribuição normal?

Sempre que esse tipo de pergunta surge para aproximar a soma das variáveis aleatórias do IID, as pessoas (inclusive eu) trazem o Teorema de Berry – Esseen , que é uma versão eficaz do Teorema do Limite Central, uma vez que existe o terceiro momento:

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{C ρ}{σ^{3} \sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$

onde é a função de distribuição cumulativa para a soma redimensionada de variáveis aleatórias do IID, é o terceiro momento central absoluto, é o desvio padrão e é uma constante absoluta que pode ser considerada ou até . $F_n$ $n$ $\rho$ $E|(X-EX)^3|$ $\sigma$ $C$ $1$ $1/2$

Isso é insatisfatório. Parece-me que a estimativa de Berry-Esseen é a mais próxima possível das distribuições binomiais discretas, com o maior erro em para uma distribuição binomial simétrica. O maior erro ocorre no maior salto. No entanto, a distribuição de soma uniforme não tem saltos. $0$

Testes numéricos sugerem que o erro diminui mais rapidamente que . $c/\sqrt n$

Usando , a estimativa de Berry – Esseen é $C=1/2$

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{32}}{\frac{1}{{\sqrt{12}}^{3}} \sqrt{n}} \approx \frac{0.650}{\sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$

que para é de cerca de , e , respectivamente. As diferenças máximas reais para parecem ser cerca de , e , respectivamente, que são muito menores e parecem cair como vez de . $n=10,20,40$ $0.205$ $0.145$ $0.103$ $n=10, 20, 40$ $0.00281$ $0.00139$ $0.000692$ $c/n$ $c/\sqrt n$

— Douglas Zare
fonte

Se você expandir a distribuição da soma em uma expansão Edgeworth , descobrirá que uniformemente em como (como a distribuição uniforme é simétrica), então soa correto. Por causa do prazo, que não dar-lhe um limite embora ...

F_{n} (x) = Φ (x) + n^{- 1} g (x) + o (n^{- 1})

$F_n(x)=\Phi(x)+n^{-1}g(x)+o(n^{-1})$

x

$x$

n \to \infty

$n\rightarrow\infty$

c / n

$c/n$

o (n^{- 1})

$o(n^{-1})$

— MånsT

Obrigado, parece que também explica o padrão para muitas outras distribuições.

c / n

$c/n$

— Douglas Zare

Seja iid variáveis aleatórias e considere a soma normalizada e a norm onde é a distribuição de . $U_1, U_2,\dots$ $\mathcal U(-b,b)$

S_{n} = \frac{\sqrt{3} \sum_{Eu = 1}^{n} {você}_{Eu}}{b \sqrt{n}},

$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$

sup

$\sup$

δ_{n} = sup_{x \in R} | F_{n} (x) - Φ (x) |,

$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$

F_{n}

$F_n$

S_{n}

$S_n$

Lema 1 ( Uspensky ): O seguinte limite em é válido. $\delta_n$

δ_{n} < \frac{1}{7,5 π n} + \frac{1}{π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} \exp (- π^{2} n / 24) .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$

Prova . Ver JV Uspensky (1937), Introdução à probabilidade matemática , Nova York: McGraw-Hill, p. 305

Isso foi posteriormente aprimorado por R. Sherman para o seguinte.

Lema 2 ( Sherman ): A seguinte melhoria no limite de Uspensky é válida.

δ_{n} < \frac{1}{7,5 π n} - (\frac{π}{180} + \frac{1}{7,5 π n}) e^{- π^{2} n / 24} + \frac{1}{(n + 1) π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} e^{- π^{2} n / 24} .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$

Prova : Ver R. Sherman, Erro da aproximação normal à soma de N variáveis aleatórias , Biometrika , vol. 58, n. 2, 396-398.

A prova é uma aplicação bastante direta da desigualdade do triângulo e dos limites clássicos na cauda da distribuição normal e em aplicado às funções características de cada uma das duas distribuições. $(\sin x) / x$

— cardeal
fonte

+1 no lema 2?

N = n

$N=n$

@ Procrastinator: Boa captura.

— cardeal

Obrigado! Essas referências são muito úteis. As estimativas parecem estar dentro de um fator de do valor real.

2

$2$

— Douglas Zare