Valor esperado do tempo de espera para o primeiro dos dois ônibus em execução a cada 10 e 15 minutos

Me deparei com uma pergunta da entrevista:

Há um trem vermelho que vem a cada 10 minutos. Há um trem azul vindo a cada 15 minutos. Ambos começam a partir de um horário aleatório, para que você não tenha nenhum cronograma. Se você chegar à estação em um horário aleatório e pegar um trem que chegar primeiro, qual é o tempo de espera esperado?

Uma maneira de abordar o problema é começar com a função de sobrevivência. Para esperar pelo menos minutos, você deve esperar pelo menos t minutos para o trem vermelho e azul. Portanto, a função geral de sobrevivência é apenas o produto das funções individuais de sobrevivência:$t$$t$

que, para , é a probabilidade de você ter que esperar pelo menos t minutos para o próximo trem. Isso leva em consideração o esclarecimento do OP em um comentário de que as premissas corretas a serem adotadas são que cada trem tenha um horário fixo independente do outro e da hora de chegada do viajante e que as fases dos dois trens sejam distribuídas uniformemente ,$0 \le t \le 10$$t$

Em seguida, o pdf é obtido como

E o valor esperado é obtido da maneira usual:

,$E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$

que resulta em minutos.$\frac{35}{9}$

A resposta é

Here's the MATLAB code to simulate:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

$x$$\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ for $0 \le x \le 10$, which when integrated gives $\frac{35}9\approx 3.889$ minutes

Alternatively, assuming each train is part of a Poisson process, the joint rate is $\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ trains a minute, making the expected waiting time $6$ minutes

I am probably wrong but assuming that each train's starting-time follows a uniform distribution, I would say that when arriving at the station at a random time the expected waiting time for:

1. the $R$ed train is $\mathbb{E}[R] = 5$ mins
2. the $B$lue train is $\mathbb{E}[B] = 7.5$ mins
3. the train that comes the first is $\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$ mins

Suppose that red and blue trains arrive on time according to schedule, with the red schedule beginning $\Delta$ minutes after the blue schedule, for some $0\le\Delta<10$. For definiteness suppose the first blue train arrives at time $t=0$.

Assume for now that $\Delta$ lies between $0$ and $5$ minutes. Between $t=0$ and $t=30$ minutes we'll see the following trains and interarrival times: blue train, $\Delta$, red train, $10$, red train, $5-\Delta$, blue train, $\Delta + 5$, red train, $10-\Delta$, blue train. Then the schedule repeats, starting with that last blue train.

If $W_\Delta(t)$ denotes the waiting time for a passenger arriving at the station at time $t$, then the plot of $W_\Delta(t)$ versus $t$ is piecewise linear, with each line segment decaying to zero with slope $-1$. So the average wait time is the area from $0$ to $30$ of an array of triangles, divided by $30$. This gives

If $\Delta$ is not constant, but instead a uniformly distributed random variable, we obtain an average average waiting time of

Este é um processo de Poisson. O trem vermelho chega de acordo com uma distribuição de Poisson com parâmetro de taxa 6 / hora.
O trem azul também chega de acordo com uma distribuição de Poisson com taxa de 4 / hora. As chegadas de trem vermelho e azul são independentes. O número total de chegadas de trens também é Poisson com taxa 10 / hora. Como a soma do tempo entre as chegadas dos trens é exponencial, com média de 6 minutos. Como a média exponencial é a recíproca do parâmetro de taxa de Poisson. Como a distribuição exponencial não possui memória, o tempo de espera esperado é de 6 minutos.