Confusão em relação à krigagem

Eu estava lendo este artigo da Wikipedia relacionado ao kriging. Eu não entendi a parte quando diz que

Kriging calcula o melhor estimador imparcial linear, , de modo que a variação de krigagem seja minimizada com a condição de imparcialidade. Não obtive a derivação e também como a variação é minimizada. Alguma sugestão?$\hat Z (x_0)$$Z(x_0)$

Especialmente, não recebi a parte em que se aplica o assunto minimizado à condição de imparcialidade.

Eu acho que deveria ter sido

E [Z '(x0) -Z (x0)] em vez de E [Z' (x) -Z (x)] não é. 'é equivalente a hat no artigo da wiki. Também não entendi como o erro de kriging é derivado

Suponha que é um vetor que se supõe ter uma distribuição multivariada de média desconhecida e matriz de variância-covariância conhecida . Observamos nesta distribuição e desejamos prever partir desta informação usando um preditor linear imparcial: (μ,μ,…,μ)Σ ( z 1 , z 2 , … , z n ) z $\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$$(\mu, \mu, \ldots, \mu)$$\Sigma$$\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ $z_0$

• Linear significa que a previsão deve assumir a forma para que os coeficientes sejam determinados. Esses coeficientes podem depender, no máximo, do que é conhecido antecipadamente: as entradas de .λi$\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$$\lambda_i$$\Sigma$

Esse preditor também pode ser considerado uma variável aleatória .$\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$

• Imparcial significa que a expectativa de é igual à sua (desconhecida) média .$\hat{Z_0}$$\mu$

Escrever as coisas fornece algumas informações sobre os coeficientes:

$$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$$

A segunda linha é devido à linearidade da expectativa e todo o resto é álgebra simples. Como esse procedimento deve funcionar independentemente do valor de , evidentemente os coeficientes precisam somar à unidade. Escrevendo os coeficientes na notação vetorial , isso pode ser escrito com .λ = ( λ i ) ′ 1 λ = $\mu$$\lambda = (\lambda_i)'$$\mathbf{1}\lambda=1$

Entre o conjunto de todos esses preditores lineares imparciais, buscamos um que se desvie o mínimo possível do valor real , medido no quadrado médio da sala. Novamente, isso é uma computação. Baseia-se na bilinearidade e simetria da covariância, cuja aplicação é responsável pelos somatórios da segunda linha:

$$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$$

De onde os coeficientes podem ser obtidos minimizando esta forma quadrática sujeita à restrição (linear) . Isso é facilmente resolvido usando o método dos multiplicadores de Lagrange, produzindo um sistema linear de equações, as "equações de Kriging".$\mathbf{1}\lambda=1$

Na aplicação, é um processo estocástico espacial ("campo aleatório"). Isso significa que, para qualquer conjunto determinado de locais fixos (não aleatórios) , o vetor de valores de nesses locais é aleatório com algum tipo de distribuição multivariada. Escreva e aplique a análise anterior, assumindo que os meios do processo em todos os locais são os mesmos e assumindo a matriz de covariância dos valores do processo nesses locais é conhecido com certeza.$Z$$\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$$Z$$\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$$Z_i = Z(\mathbf{x_i})$$n+1$$\mathbf{x_i}$$n+1$

Vamos interpretar isso. Sob as premissas (incluindo média constante e covariância conhecida), os coeficientes determinam a variação mínima atingível por qualquer estimador linear. Vamos chamar essa variação de ("OK" é para "krigagem comum"). Depende apenas da matriz . Ele nos diz que, se formos amostrar repetidamente de e usar esses coeficientes para prever os valores valores restantes a cada vez,$\sigma_{OK}^2$$\Sigma$$\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$$z_0$

1. Em média, nossas previsões seriam corretas.

2. Normalmente, nossas previsões de se desviaram de dos valores reais de .$z_0$$\sigma_{OK}$$z_0$

Muito mais precisa ser dito antes que isso possa ser aplicado a situações práticas, como estimar uma superfície a partir de dados pontuais: precisamos de suposições adicionais sobre como as características estatísticas do processo espacial variam de um local para outro e de uma realização para outra (embora , na prática, geralmente apenas uma realização estará disponível). Mas essa exposição deve ser suficiente para acompanhar como a busca por um "melhor" preditor linear imparcial ("BLUP") leva diretamente a um sistema de equações lineares.

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A propósito, krigar como normalmente praticado não é exatamente o mesmo que estimativa de mínimos quadrados, porque é estimado em um procedimento preliminar (conhecido como "variografia") usando os mesmos dados. Isso é contrário às premissas dessa derivação, que assumiram que era conhecido (e a fortiori independente dos dados). Assim, desde o início, o kriging possui algumas falhas conceituais e estatísticas incorporadas. Os praticantes atenciosos sempre estiveram cientes disso e encontraram várias maneiras criativas de (tentar) justificar as inconsistências. (Ter muitos dados pode realmente ajudar.) Agora existem procedimentos para estimar simultaneamente$\Sigma$$\Sigma$$\Sigma$e prever uma coleção de valores em locais desconhecidos. Eles exigem suposições um pouco mais fortes (normalidade multivariada) para realizar esse feito.

Kriging é simplesmente uma estimativa de mínimos quadrados para dados espaciais. Como tal, fornece um estimador imparcial linear que minimiza a soma dos erros ao quadrado. Como é imparcial, o MSE = variância do estimador e é mínimo.