Por que autocovariâncias poderiam caracterizar completamente uma série temporal?

Li na Série Temporal de John Cochrane para Macroeconomia e Finanças que:

A autocovariância pode caracterizar completamente a série temporal [distribuição conjunta].

Não compreendo completamente a conexão entre covariância e distribuição conjunta aqui. Alguém pode explicar isso?

time-series autocorrelation joint-distribution

— Porco voador
fonte

Aposto que ele assume que o processo é gaussiano, certo?

— whuber

@whuber, sim, ele usa o modelo ARMA para ilustrar e assume o termo do erro sempre como ruído branco.

— Flying pig

O ruído branco por si só não garante o resultado que você precisa; você precisa de ruído branco gaussiano .

— precisa saber é o seguinte

Um processo gaussiano estacionário é completamente caracterizado pela combinação de sua função média, variância e autocorrelação. A afirmação que você lê não é verdadeira. Você precisa das seguintes condições adicionais:

O processo é estacionário
o processo é gaussiano
a média é especificada $μ$

Então todo o processo estocástico é completamente caracterizado por sua função de autocovariância (ou equivalentemente, sua variação + função de autocorrelação). $σ^2$

Isso simplesmente se baseia no fato de que qualquer distribuição gaussiana multivariada é determinada exclusivamente por seu vetor médio e sua função de covariância. Assim, dadas todas as condições que afirmei acima, a distribuição conjunta de qualquer observação na série temporal tem uma distribuição normal multivariada com vetor médio tendo cada componente igual a (por estacionariedade) cada componente tem variação (novamente por estacionariedade) e os componentes de covariância são dados pelas covariâncias correspondentes defasadas na função de autocovariância (novamente a estacionariedade entra porque a autocovariância depende apenas da diferença de tempo (ou atraso) entre as duas observações cuja covariância está sendo tomada. $k$ $μ$ $σ^2$

— Michael R. Chernick
fonte

(+1) Acho que isso é dito implicitamente na condição (1), mas você também exige que seja constante, certo?

μ

$\mu$

— Macro

@ Macro Sim estacionariedade, mesmo a estacionariedade de senso fraco (covariância) requer uma média constante e uma variação constante.

— Michael R. Chernick

@ MichaelChernick, então poderíamos reproduzir a distribuição conjunta do processo estocástico (ou simular o próprio processo estocástico) tendo sua média e autocovariância?

— Flying pig

@ FlyingPig Yes para qualquer subconjunto de variáveis, desde que seja um processo gaussiano estacionário. não precisa ser um processo de AR, MA ou ARMA. Só precisa ser um processo gaussiano estacionário. Não deveria ser uma surpresa. Essa é uma propriedade conhecida para distribuições normais multivariadas.

— Michael R. Chernick

@ Macro Acho que a média constante da condição é redundante nas condições exigidas que eu forneci. Eu apenas mencionei isso porque para caracterizar completamente o processo estocástico, você precisa saber qual é o valor da média e da variância, e não apenas que ambos sejam constantes.

— Michael R. Chernick