Qual é a expectativa de uma variável aleatória dividida por uma média

Deixe $X_i$ seja IID e $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$ .

E [\frac{X_{Eu}}{\bar{X}}] = ?

$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$ Parece óbvio, mas estou tendo problemas para derivá-lo formalmente.

probability random-variable expected-value

— Stollenm
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Seja $X_1,\dots,X_n$ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e defina

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} \dots + X_{n}}{n} .

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$

$\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ $X_i$ $i=1,\dots n$ $X_i/\bar{X}$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} \sim \frac{X_{2}}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_{n}}{\bar{X}} .

$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$

E [X_{i} / \bar{X}]

$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$

E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] = E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] = \dots = E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}],

$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

\begin{aligned} E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] & = \frac{1 1}{n} (E [\frac{X_{1 1}}{\bar{X}}] + E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] + \dots + E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}]) \\ = \frac{1 1}{n} E [\frac{X_{1 1}}{\bar{X}} + \frac{X_{2}}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1 1}{n} E [\frac{X_{1 1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1 1}{n} E [\frac{n \bar{X}}{\bar{X}}] \\ = \frac{n}{n} E [\frac{\bar{X}}{\bar{X}}] = 1 \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$

Vamos ver se podemos verificar isso com simples Monte Carlo.

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

Tudo bem, e os resultados não mudam muito com a repetição.

— zen
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(+1) A conclusão de que não existe é verdadeira, mas requer um argumento mais sutil do que qualquer um dos quais você já tenha vinculado, porque e não são independentes.

E [X_{i} / \bar{X}]

$E[X_i/\bar X]$

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber: Você pode expandir isso um pouco, Bill? a dependência de e em um dos comentários da pergunta vinculada. Além disso, a resposta de Xi'an aborda o caso com uma transformação simples. Ele também deu a distribuição de em um de seus comentários. Obrigado por seus pensamentos sobre isso.

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar{X}$

n = 2

$n=2$

X_{i} / \bar{X}

$X_i/\bar{X}$

— Zen

@whuber: Acho que minha explicação funciona desde que que é , Sendo um padrão Cauchy. Nenhuma dependência envolvida.

X_{Eu} / \bar{X} = n / {1 1 + X_{2} / X_{1 1} + \dots + X_{n} / X_{1 1}}

$X_i/\bar{X}=n/\{1+X_2/X_1+\cdots+X_n/X_1\}$

n / {1 + (n - 1) Z}

$n/\{1+(n-1)Z\}$

Z

$Z$

— Xi'an

@ Xi'an: você usou aqui isso (considere o caso ), já que e são Cauchy padrão, então também é Cauchy padrão? Mas isso não é verdade porque e não são independentes, certo?

n = 3

$n=3$

U = X_{2} / X_{1}

$U=X_2/X_1$

V = X_{3} / X_{1}

$V=X_3/X_1$

(U + V) / 2

$(U+V)/2$

U

$U$

V

$V$

— Zen

@Zen: No entanto, e são variáveis normais independentes, portanto é um Cauchy, se com uma escala em vez de .

(X_{2} + \dots + X_{n})

$(X_2+\cdots+X_n)$

X_{1}

$X_1$

(X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}

$(X_2+\cdots+X_n)/X_1$

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$

n - 1

$n-1$

— Xi'an