Expectativa "inesperada"

Algum de nossos especialistas em Monte Carlo pode explicar a expectativa "inesperada" ao final desta resposta ?

Resumo ex post facto da outra pergunta / resposta: se são variáveis aleatórias do IID e as expectativas existem, então um argumento simples de simetria mostra que , mas um experimento de Monte Carlo com parece contradizer essa proposição. $X_1,\dots,X_n$ $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$ $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$ $X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

— zen
fonte

A explicação para a avaliação de Monte Carlo da relação assumindo valores estranhos é que a expectativa não existe. Como uma transformação de um Cauchy no seu exemplo Normal . De fato, que não é integrável em uma vez que equivalente a . $\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$ $X_1/X_2$

\begin{aligned} E [X_{1} / (X_{1} + X_{2})] & = E [1 / (1 + X_{2} / X_{1})] \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + y} \frac{1}{π (1 + y^{2})} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*}$

y = - 1

$y=-1$

(y + 1)^{- 1}

$(y+1)^{-1}$

Observe que não é uma variável de Cauchy, mas a transformação de uma variável de Cauchy pela função O motivo é que e que que . $X_1/\bar{X}$

f : y \to \frac{n}{1 + \sqrt{n - 1} y}

$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$

(X_{2} + \dots + X_{n}) \sim N (0, n - 1)

$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} = \frac{n}{1 + (X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}} = \frac{n}{1 + \sqrt{n - 1} Z / X_{1}}

$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$

Z \sim N (0, 1)

$Z\sim\text{N}(0,1)$

Observe que, conforme cresce até o infinito, converge na distribuição para a variável aleatória igual a com probabilidade . $n$ $X_1/\bar{X}$ $\pm \infty$ $1/2$

— Xi'an
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No exemplo Gamma, a razão é delimitada por portanto, tem uma expectativa finita.

1

$1$

— Xi'an

OK, então as obras de argumentos de simetria, mas somente se a expectativa existe em primeiro lugar ... Claro ...

— Zen

@ Xi'an: você está certo sobre isso não ser um Cauchy, e sua resposta é imediata. Excluirei minha resposta, pois ela é ativamente enganosa.

— Stephan Kolassa