Does

Does implica independência de e ? $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ $X$ $Y$

Eu sou apenas familiarizado com o seguinte definição de independência entre e . $X$ $Y$

f_{x, y} (x, y) = f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$

random-variable independence

— Stollenm
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Você precisa de

, não apenas

C o v (f (X), g (Y)) = 0 for all (measurable) f (\cdot), g (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$

C o v (f (X), Y) = 0 \forall f (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— Dilip Sarwate

Vamos começar com a intuição. A inclinação do comum de regressão de mínimos quadrados de contra , para qualquer função , é proporcional à covariância de e . A suposição é que todas as regressões são todas zero (não apenas lineares). Se você imagina representado por uma nuvem de pontos (realmente, uma nuvem de densidade de probabilidade), não importa como você a corta verticalmente e reordena as fatias (que realiza o mapeamento $Y$ $h(X)$ $h$ $h(X)$ $Y$ $(X,Y)$ $h$ ), a regressão permanece zero. Isso implica que as expectativas condicionais de (que são a função de regressão) são todas constantes. Poderíamos mexer com as distribuições condicionais , mantendo as expectativas constantes, arruinando assim qualquer chance de independência. Portanto, devemos esperar que a conclusão nem sempre seja válida. $Y$

Existem contra-exemplos simples. Considere um espaço de amostra de nove elementos abstratos e uma medida discreta com probabilidade determinada por

Ω = {ω_{Eu, j} ∣ - 1 1 \leq Eu, j, \leq 1 1}

$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$

P (ω_{0 0, 0 0}) = 0 0; P (ω_{0 0, j}) = 1 1 / 5 (j = \pm 1 1); P (ω_{Eu, j} = 1 1 / 10) de outra forma.

$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$

Defina

X (ω_{Eu, j}) = j, Y (ω_{Eu, j}) = Eu .

$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$

Poderíamos exibir essas probabilidades como uma matriz

(\begin{matrix} 1 1 & 2 & 1 1 \\ 1 1 & 0 0 & 1 1 \\ 1 1 & 2 & 1 1 \end{matrix})

$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$

(com todas as entradas multiplicado por ) posicionadas em ambos os sentidos por os valores . $1/10$ $-1,0,1$

As probabilidades marginais são e

f_{X} (- 1 1) = f_{X} (1 1) = 3 / 10; f_{X} (0 0) = 4 / 10

$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$

tal como calculado pela soma das colunas e as somas de fileira da matriz, respectivamente. Desde

estas variáveis não são independentes.

f_{Y} (- 1 1) = f_{Y} (1 1) = 4 / 10; f_{Y} (0 0) = 2 / 10,

$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$

f_{X} (0 0) f_{Y} (0 0) = (4 / 10) (2 / 10) \neq 0 0 = P (ω_{0 0, 0 0}) = f_{X Y} (0 0, 0 0),

$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$

Isso foi construído para tornar a distribuição condicional de quando diferente das outras distribuições condicionais para . Você pode ver isso comparando a coluna do meio da matriz com as outras colunas. A simetria nas coordenadas e em todas as probabilidades condicionais mostra imediatamente que todas as expectativas condicionais são zero, de onde todas as covariâncias são zero, independentemente de como os valores associados de possam ser reatribuídos às colunas. $Y$ $X=0$ $X=\pm 1$ $Y$ $X$

Para aqueles que podem não se convencer, o contra-exemplo pode ser demonstrado através da computação direta - existem apenas funções que precisam ser consideradas e para cada uma delas a covariância é zero. $27$

— whuber
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