Prova fácil de ?

Seja sejam variáveis aleatórias normais padrão independentes. Existem muitas (longas) provas por aí, mostrando que $Z_1,\cdots,Z_n$

\sum_{i = 1}^{n} {(Z_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Z_{j})}^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^n \left(Z_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j \right)^2 \sim \chi^2_{n-1}$

Muitas provas são bastante longas e algumas delas usam indução (por exemplo, Casella Statistical Inference). Gostaria de saber se existe alguma prova fácil desse resultado.

mathematical-statistics sampling

— 3x89g2
fonte

Para uma abordagem geométrica intuitiva (sem coordenadas), consulte a Seção 1.2 do excelente texto A abordagem sem coordenadas para modelos lineares, por Michael J. Wichura (os detalhes técnicos são preenchidos no Teorema 8.2), onde o autor realmente comparou o tradicional prova de matriz (fornecida pela resposta de whuber) e sua abordagem de projeção, mostrando que sua abordagem geométrica é mais natural e menos obscura. Pessoalmente, acho que essa prova é perspicaz e sucinta.

— Zhanxiong

Respostas:

Para , defina $k=1, 2, \ldots, n-1$

X_{k} = (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{k} - k Z_{k + 1}) / \sqrt{k + k^{2}} .

$X_k = (Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_k - kZ_{k+1})/\sqrt{k+k^2}.$

O , sendo transformações lineares de variáveis aleatórias multinormalmente distribuídas , também possui uma distribuição multinormal. Observe que $X_k$ $Z_i$

A matriz de variância-covariância de é a matriz de identidade . $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $n-1\times n-1$
$X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n-1}^2 = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar Z)^2.$

$(1)$ , que é fácil de verificar, implica diretamente ao observar que todos os não estão correlacionados com Todos os se ao fato de que , onde existem . $(2)$ $X_k$ $\bar Z.$ $1+1+\cdots+1 - k = 0$ $k$

Juntos, eles mostram que tem a distribuição da soma de variáveis normais não-correlacionadas da variação de unidade. Por definição, esta é a , QED . $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2$ $n-1$ $\chi^2(n-1)$

Referências

Para uma explicação de onde vem a construção de , consulte o início da minha resposta em Como executar a transformação isométrica da razão logarítmica relativa às matrizes de Helmert . $X_k$
Esta é uma simplificação da demonstração geral dada na resposta do ocram em Por que o RSS é distribuído chi square times np . Essa resposta afirma "existe uma matriz" para construir o ; aqui, eu exibo essa matriz. $X_k$

— whuber
fonte

Esta construção tem uma interpretação geométrica simples. (1) As variáveis são distribuídas em uma distribuição esférica simétrica n-dimensional (portanto, podemos rotacioná-la da maneira que ). (2) O é encontrado como uma solução para o problema linear , que é efetivamente uma projeção do vetor em . (3) Se girarmos o espaço de coordenadas de modo que uma das coordenadas coincida com esse vetor de projeção, , o restante será uma distribuição (n-1) -multinomial que representa o espaço residual.

Z_{i}

$Z_i$

\bar{Z}

$\overline{Z}$

Z_{i} = \bar{Z} + ϵ_{i}

$Z_i = \overline{Z} + \epsilon_i$

Z

$\mathbf{Z}$

1

$\mathbf{1}$

1

$\mathbf{1}$

— Sextus Empiricus

Você mostra que os não estão correlacionados. Mas, tanto quanto eu entendo, para dizer que uma soma das variáveis normais padrão ao quadrado é , precisamos de independência, que é um requisito muito mais forte do que não correlacionado? EDIT: oh espera, se sabemos que duas variáveis são normalmente distribuídas, então não correlacionadas implica independência.

X_{i}

$X_i$

χ^{2}

$\chi^2$

— user56834

Além disso, não entendo como você vai do fato de que os não estão correlacionados com (o que eu entendo) para (2). Você poderia elaborar?

X_{i}

$X_i$

\bar{Z}

$\bar Z$

— user56834

@ Programador Desculpe; Eu não quis dizer que é uma dedução lógica - (1) e (2) são duas observações separadas. (2) é apenas uma identidade algébrica (direta).

— whuber

Programador, observe o link para a outra resposta que Whuber deu ( stats.stackexchange.com/questions/259208/… ) Os são construídos com base em uma matriz, , com linhas ortogonais. Portanto, você pode avaliar de uma maneira mais abstrata (menos falível) como , (note que temos que estender K pelo vetor 1111 para torná-lo n por n) #

X_{k}

$X_k$

H

$H$

\sum K_{i}^{2}

$\sum K_i^2$

K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (H Z)^{T} (H Z) = Z^{T} (H^{T} H) Z = Z^{T} I Z = Z \cdot Z

$K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (HZ)^T (HZ) = Z^T (H^TH) Z= Z^T I Z = Z \cdot Z$

— Sextus Empiricus

Observe que você diz que são iid com normal padrão , com e $Z_is$ $N(0,1)$ $\mu=0$ $\sigma=1$

Então $Z_i^2\sim \chi^2_{(1)}$

Então

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z} + \bar{Z})^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + n {\bar{Z}}^{2} \\ (1) & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + {[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{i=1}^n Z_i^2&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z}+\bar{Z})^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+n\bar{Z}^2\\&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \tag{1} \end{align}$

Observe que o lado esquerdo de (1), e que o segundo termo no lado direito

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ_{(n)}^{2}

$\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_{(n)}$

{[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \sim χ_{(1)}^{2} .

$\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \sim\chi^2_{(1)}.$

Além disso, modo que e sejam independentes. Portanto, os dois últimos termos em (1) (funções de e ) também são independentes. Portanto, seus mgfs estão relacionados ao mgf do lado esquerdo de (1) através de que e . O mgf de é, portanto, . Assim, é qui-quadrado com graus de liberdade. $\operatorname{Cov}(Z_i-\bar Z,\bar Z)=0$ $Z_i-\bar Z$ $\bar Z$ $Z_i-\bar Z$ $Z_i$

M_{n} (t) = M_{n - 1} (t) M_{1} (t)

$M_n(t) = M_{n-1}(t)M_1(t)$

M_{n} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2}

$M_n(t)=(1-2t)^{-n/2}$

M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- 1 / 2}

$M_1(t)=(1-2t)^{-1/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

M_{n - 1} (t) = M_{n} (t) / M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$M_{n-1}(t)=M_n(t)/M_1(t)=(1-2t)^{-(n-1)/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

n - 1

$n-1$

— Norte profundo
fonte

A última "Por isso" é muito descuidado

— Zhanxiong

O independente que pode ser visto da privação padrão depende de

\bar{X}

$\bar{X}$

— Deep North

"desvio padrão independente de "? Talvez o que você queira dizer seja seja independente de . Infelizmente, isto não é verdade. O que realmente vale é é independente de , que também faz parte da prova que precisamos concluir (em vez de usá-lo ao mostrar essa proposição).

\bar{X}

$\bar{X}$

\sum Z_{i}^{2}

$\sum Z_i^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

\sum (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum (Z_i - \bar{Z})^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

— Zhanxiong

Eu acho que eu usei Teorema de Cochran

— Profundo do Norte

@DeepNorth Se preencheu alguns peças que faltam em sua prova

— Jarle Tufto