O que significa a álgebra gerada por uma variável aleatória?

Freqüentemente, no curso de meu (auto) estudo de estatística, encontrei a terminologia " álgebra gerada por uma variável aleatória". Não entendo a definição na Wikipedia , mas o mais importante é que não entendo a intuição. Por que / quando precisamos de álgebras geradas por variáveis aleatórias? Qual é o significado deles? Eu sei o seguinte: $\sigma$ $\sigma-$

a $\sigma$ -algebra em um conjunto $\Omega$ é uma coleção não vazia de subconjuntos de $\Omega$ que contém $\Omega$ , é fechada sob complemento e sob união contável.
introduzimos $\sigma$ -algebras para criar espaços de probabilidade em infinitos espaços de amostra. Em particular, se $\Omega$ é incontávelmente infinito, sabemos que podem existir subconjuntos incomensuráveis (conjuntos para os quais não podemos definir uma probabilidade). Portanto, não podemos apenas usar o conjunto de $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ como nosso conjunto de eventos $\mathcal{F}$ . Precisamos de um conjunto menor, que ainda seja grande o suficiente para que possamos definir a probabilidade de eventos interessantes, e possamos falar sobre convergência de uma sequência de variáveis aleatórias.

Em suma, acho que tenho uma compreensão intuitiva justa das álgebras $\sigma-$ . Gostaria de ter um entendimento semelhante para as álgebras $\sigma-$ geradas por variáveis aleatórias: definição, por que precisamos delas, intuição, um exemplo ...

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
fonte

Uma caracterização eficaz (e intuitivamente significativa) é que essa é a álgebra sigma mais grossa do

Ω

$\Omega$ que torna mensurável a variável aleatória.

— whuber

@whuber mais grosseiro significa menor? Em outras palavras, tenho meu espaço de probabilidade

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ , tenho um RV

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$ (que é mensurável por definição de variável aleatória) e

σ

$\sigma$ é o menor subconjunto de

F

$\mathcal{F}$ modo que

X

$X$ ainda é mensurável. Ok, mas isso levanta a questão do que significa intuitivamente que

X

$X$ é mensurável :-) faria sentido dizer que podemos definir a probabilidade de todos os eventos do tipo

a < X < b

$a\lt X \lt b$ unions / intersections?

— DeltaIV 7/11

Observar um único cada vez oferece pouca intuição em relação à mensurabilidade. Esse conceito se destaca quando você estuda coleções de variáveis aleatórias - processos estocásticos. Por sua vez, os processos estocásticos mais simples (como passeios aleatórios binomiais discretos finitos) fornecem uma configuração interpretável na qual a álgebra sigma gerada por todas as variáveis pode ser considerada "a informação disponível até ( e incluindo) o tempo ".

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@ whuber desculpe, eu não entendo :) Eu apreciaria se você pudesse me indicar outra resposta sua, onde você vai mais detalhadamente, ou se você gostaria de expandir isso como resposta. Caso contrário, não se preocupe - talvez eu não conheça o suficiente sobre processos estocásticos para entender seu argumento. Embora .. eu preciso aprimorar minhas habilidades em Dynamic Bayesian Network, por isso, se essa intuição ajudar ao trabalhar em séries temporais, eu ficaria bastante interessado.

— DeltaIV 7/11

Consulte stats.stackexchange.com/a/123754/919 . Também podem ser úteis stats.stackexchange.com/a/164995/919 e stats.stackexchange.com/a/74339/919 .

— whuber

Considere uma variável aleatória . Sabemos que nada mais é que uma função mensurável de em , onde são os conjuntos Borel da linha real. Por definição de mensurabilidade, sabemos que temos $X$ $X$ $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R})$

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

Mas, na prática, as pré-imagens dos conjuntos de Borel podem não ser todas mas podem constituir um subconjunto muito mais grosso. Para ver isso, vamos definir $\mathcal{A}$

Σ = {S \in A : S = X^{- 1} (B), B \in B (R)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

Usando as propriedades das pré-imagens, não é muito difícil mostrar que é uma álgebra sigma. Também segue imediatamente que , portanto é uma álgebra sub-sigma. Além disso, pelas definições, é fácil ver que o mapeamento é mensurável. é de fato a menor álgebra sigma que faz de uma variável aleatória, como todas as outras álgebras sigma desse tipo incluiriam pelo menos $\mathcal{\Sigma}$ $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ $\mathcal{\Sigma}$ $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ $\mathcal{\Sigma}$ $X$ $\mathcal{\Sigma}$ . Pela razão de que estamos lidando com preimages da variável aleatória , que chamamos de a sigma-álgebra induzida pela variável aleatória . $X$ $\mathcal{\Sigma}$ $X$

Aqui está um exemplo extremo: considere uma variável aleatória constante , ou seja, . Então é igual a ou dependendo de . A álgebra sigma assim gerada é trivial e, como tal, é definitivamente incluída em . $X$ $X(\omega) \equiv \alpha$ $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ $\Omega$ $\varnothing$ $\alpha \in B$ $\mathcal{A}$

Espero que isto ajude.

— JohnK
fonte

A

$\mathcal{A}$ é o conjunto de eventos, certo? O que eu denotei com

F

$\mathcal{F}$

— DeltaIV 7/17/17

Sim, nasci com a condição de achar mais atraente que .

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— JohnK

excelente! Muito claro. Você deve escrever um livro :)

— DeltaIV