Qual é a diferença entre linearmente dependente e linearmente correlacionado?

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Por favor, explique qual é a diferença entre se duas variáveis são linearmente dependentes ou linearmente correlacionadas .

Procurei o artigo da Wikipedia, mas não obtive um exemplo adequado. Por favor, explique com exemplo.

correlation non-independent

— Happy Mittal
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Duas variáveis são linearmente dependentes se uma puder ser escrita como uma função linear da outra. Se duas variáveis são linearmente dependentes, a correlação entre elas é 1 ou -1. Linearmente correlacionado significa apenas que duas variáveis têm uma correlação diferente de zero, mas não necessariamente tendo uma relação linear exata. A correlação às vezes é chamada de correlação linear porque o coeficiente de correlação do momento do produto Pearson é uma medida da força da linearidade na relação entre as variáveis.

— Michael R. Chernick
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+1. No entanto, prefiro dizer o coeficiente de Pearson. "é uma medida da força do relacionamento linear" em vez deis a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns Ok, isso parece mais apropriado.

— Michael R. Chernick

Talvez vez de , seja uma medida melhor, pois não precisamos lidar com perto de significa uma forte relação linear (embora com inclinação negativa). Além disso, considere quanta variação é explicada versus não explicada, e que não provoca o estatístico em girar estrelinhas e fazendo pino em comemoração, enquanto é uma evidência muito melhor de um resultado positivo (lido, publicável).

ρ^{2}

$\rho^2$

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

- 1

$-1$

ρ = 0.51

$\rho = 0.51$

ρ^{2} > 1 / \sqrt{2} \approx 70 %

$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— Dilip Sarwate

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Em a dependência linear implica que um vetor é uma função linear do outro: Está claro nessa definição que as duas variáveis se moveriam na etapa de bloqueio, implicando uma correlação de ou dependendo do valor de . Para entender melhor as diferenças e conexões entre os conceitos, no entanto, acho que é benéfico considerar a geometria envolvida. $\mathbf{R}^2$

v_{1} = a v_{2} .

$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$

1

$1$

- 1

$-1$

a

$a$

O gráfico abaixo mostra um exemplo da fórmula para dependência linear. Você pode ver que os vetores são linearmente dependentes porque um é simplesmente um múltiplo do outro. insira a descrição da imagem aqui

Isso contrasta com a independência linear, que em é descrita por: para vetoresUm exemplo de independência linear pode ser visto no gráfico abaixo. $\mathbf{R}^2$

v_{1} \neq a v_{2}

$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$

v_{1}, v_{2} \neq 0 .

$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$ insira a descrição da imagem aqui

A versão mais extrema da independência linear é a ortogonalidade, definida para os vetores como: Quando representados graficamente em , corresponde de ortogonalidade para os vectores e sendo perpendicular a um outro: $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

v_{1}^{T} v_{2} = 0.

$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$

R^{2}

$\mathbf{R}^2$

v_{1}

$\textbf{v}_{1}$

v_{2}

$\textbf{v}_2$

insira a descrição da imagem aqui

Agora, considere o coeficiente de correlação de Pearson:

ρ_{v_{1} v_{2}} = \frac{(v_{1} - {\bar{v}}_{1} 1)^{T} (v_{2} - {\bar{v}}_{2} 1)}{σ_{v_{1}} σ_{v_{2}}} .

$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$

Observe que se os vetores e são ortogonais, então o numerador do coeficiente de Pearson é zero, implicando que as variáveis e não estão correlacionadas. Isso ilustra uma conexão interessante entre independência linear e correlação: dependência linear entre as versões centralizadas das variáveis e corresponde a uma correlação de ou , não independência linear ortogonal entre as versões centralizadas de e $(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$ $(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $1$ $-1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ corresponde a uma correlação entre e em valor absoluto, e a ortogonalidade entre as versões centralizadas de e corresponde a uma correlação de . $0$ $1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $0$

Assim, se dois vetores são linearmente dependentes, as versões centralizadas dos vetores também serão linearmente dependentes, ou seja, os vetores estão perfeitamente correlacionados. Quando dois vetores linearmente independentes (ortogonais ou não) estão centralizados, o ângulo entre os vetores pode ou não mudar. Assim, para vetores linearmente independentes, a correlação pode ser positiva, negativa ou zero.

— tjnel
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Seja f (x) eg (x) funções.

Para que f (x) eg (x) sejam linearmente independentes, devemos ter

a * f (x) + b * g (x) = 0 se e somente se a = b = 0.

Em outras palavras, não existe c tal que a ou b não seja zero, mas

a * f (c) + b * g (c) = 0

Se houver tal ac, dizemos que f (x) eg (x) são linearmente dependentes.

por exemplo

f (x) = sin (x) eg (x) = cos (x) são linearmente independentes

f (x) = sin (x) eg (x) = sin (2x) não são linearmente dependentes (Por quê?)

— user34832
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Com a definição que você está usando lá, pode haver um tal que ; eles são apenas linearmente dependentes se isso ocorrer para todos os no domínio considerado; por exemplo, considere seu segundo exemplo, com . (Além disso, acho que há um problema com o seu primeiro exemplo)

c

$c$

a f (c) + b g (c) = 0

$a f(c) + b g(c) = 0$

x

$x$

c = π / 3

$c=\pi/3$

— Glen_b -Reinstate Monica 15/11