Inclinação do logaritmo de uma variável aleatória gama

Considere a variável aleatória gama . Existem fórmulas puras para média, variação e assimetria: $X\sim\Gamma(\alpha, \theta)$

\begin{aligned} E [X] & = α θ \\ Var [X] & = α θ^{2} = 1 / α \cdot E [X]^{2} \\ Skewness [X] & = 2 / \sqrt{α} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X]&=\alpha\theta\\ \operatorname{Var}[X]&=\alpha\theta^2=1/\alpha\cdot\mathbb E[X]^2\\ \operatorname{Skewness}[X]&=2/\sqrt{\alpha} \end{align}$

Considere agora uma variável aleatória transformada em log . A Wikipedia fornece fórmulas para a média e a variação: $Y=\log(X)$

\begin{aligned} E [Y] & = ψ (α) + \log (θ) \\ Var [Y] & = ψ_{1} (α) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[Y]&=\psi(\alpha)+\log(\theta)\\ \operatorname{Var}[Y]&=\psi_1(\alpha)\\ \end{align}$

via funções digamma e trigamma, que são definidas como a primeira e a segunda derivadas do logaritmo da função gama.

Qual é a fórmula para a assimetria?

A função tetragamma aparecerá?

(O que me fez pensar sobre isso é uma escolha entre distribuições lognormal e gama, consulte Gamma vs. distribuições lognormal . Entre outras coisas, elas diferem em suas propriedades de assimetria. Em particular, a assimetria do log de lognormal é trivialmente igual a zero. assimetria do log de gama é negativa, mas quão negativa? ..)

gamma-distribution skewness logarithm

— ameba diz Restabelecer Monica
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Será que isso ajuda? Ou isso ?

— S. Kolassa - Restabelece Monica

Não tenho muita certeza do que é a distribuição log-gama. Se está relacionado à gama, como lognormal está relacionado ao normal, então estou perguntando sobre outra coisa (porque "lognormal", confuso, é a distribuição de exp (normal) e não de log (normal)).

— Ameba diz Reinstate Monica

@Glen_b: Para ser sincero, eu diria que chamar o exponencial do normal de "lognormal" é muito mais inconsistente e confuso. Embora, infelizmente, mais estabelecido.

— S. Kolassa - Restabelece Monica

@ Stephanie veja também log-logistic, log-Cauchy, log-Laplace, etc. É uma convenção mais claramente estabelecida que o oposto

— Glen_b -Reinstate Monica

Sim; Tomei cuidado para não dizer "log-gama" em nenhum lugar em relação a essa distribuição por esse motivo. (I utilizaram no passado de uma maneira consistente com o log-normal)

— Glen_b -Reinstate Monica

Respostas:

A função geradora de momento de é útil neste caso, pois possui uma forma algébrica simples. Pela definição de mgf, temos $M(t)$ $Y=\ln X$

\begin{aligned} M (t) & = E [e^{t \ln X}] = E [X^{t}] \\ = \frac{1}{Γ (α) θ^{α}} \int_{0}^{\infty} x^{α + t - 1} e^{- x / θ} d x \\ = \frac{θ^{t}}{Γ (α)} \int_{0}^{\infty} y^{α + t - 1} e^{- y} d y \\ = \frac{θ^{t} Γ (α + t)}{Γ (α)} . \end{aligned}

$\begin{aligned}M(t)&=\operatorname{E}[e^{t\ln X}]=\operatorname{E}[X^t]\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^\alpha}\int_0^\infty x^{\alpha+t-1}e^{-x/\theta}\,dx\\ &=\frac{\theta^{t}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty y^{\alpha+t-1}e^{-y}\,dy\\ &=\frac{\theta^t\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}.\end{aligned}$

Vamos verificar a expectativa e a variação que você deu. Tomando derivadas, temos ePortanto,Segue-se

M^{'} (t) = \frac{Γ^{'} (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} + \frac{Γ (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} em (θ)

$M'(t)=\frac{\Gamma'(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t+\frac{\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln(\theta)$

M^{″} (t) = \frac{Γ^{″} (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} + \frac{2 Γ^{'} (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} \ln (θ) + \frac{Γ (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} \ln^{2} (θ) .

$M''(t)=\frac{\Gamma''(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t+\frac{2\Gamma'(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln(\theta)+\frac{\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln^2(\theta).$

E [Y] = ψ^{(0)} (α) + \ln (θ), E [Y^{2}] = \frac{Γ^{″} (α)}{Γ (α)} + 2 ψ^{(0)} (α) \ln (θ) + \ln^{2} (θ) .

$\operatorname{E}[Y]=\psi^{(0)}(\alpha)+\ln(\theta),\qquad\operatorname{E}[Y^2]=\frac{\Gamma''(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}+2\psi^{(0)}(\alpha)\ln(\theta)+\ln^2(\theta).$

Var (Y) = E [Y^{2}] - E [Y]^{2} = \frac{Γ^{″} (α)}{Γ (α)} - {(\frac{Γ^{'} (α)}{Γ (α)})}^{2} = ψ^{(1)} (α) .

$\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{E}[Y^2]-\operatorname{E}[Y]^2=\frac{\Gamma''(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}-\left(\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\right)^2=\psi^{(1)}(\alpha).$

Para encontrar a assimetria, observe que a função de geração cumulativa (obrigado @probabilityislogic pela dica) éO primeiro cumulante é, portanto, simplesmente . Lembre-se de que , portanto, os cumulantes subsequentes são , . A assimetria é, portanto,

K (t) = \ln M (t) = t \ln θ + \ln Γ (α + t) - \ln Γ (α) .

$K(t)=\ln M(t)=t\ln\theta+\ln\Gamma(\alpha+t)-\ln\Gamma(\alpha).$

K^{'} (0) = ψ^{(0)} (α) + \ln (θ)

$K'(0)=\psi^{(0)}(\alpha)+\ln(\theta)$

ψ^{(n)} (x) = d^{n + 1} \ln Γ (x) / d x^{n + 1}

$\psi^{(n)}(x)=d^{n+1}\ln\Gamma(x)/dx^{n+1}$

K^{(n)} (0) = ψ^{(n - 1)} (α)

$K^{(n)}(0)=\psi^{(n-1)}(\alpha)$

n \geq 2

$n\geq2$

\frac{E [(Y - E [Y])^{3}]}{Var (Y)^{3 / 2}} = \frac{ψ^{(2)} (α)}{[ψ^{(1)} (α)]^{3 / 2}} .

$\frac{\operatorname{E}[(Y-\operatorname{E}[Y])^3]}{\operatorname{Var}(Y)^{3/2}}=\frac{\psi^{(2)}(\alpha)}{[\psi^{(1)}(\alpha)]^{3/2}}.$

Como observação lateral, essa distribuição em particular parece ter sido completamente estudada por AC Olshen em Transformations of the Pearson Type III Distribution , as Distribuições Univariadas Contínuas de Johnson et al. Também têm um pequeno pedaço sobre ela. Confira esses.

— Francis
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Você deve diferenciar vez de como esta é a função geradora cumulante - mais diretamente relacionada a momentos centrais - onde é a função polygamma

K (t) = \log [M (t)] = t \log [θ] + \log [Γ (α + t)] - \log [Γ (α)]

$K (t)=\log [M (t)]=t\log [\theta]+\log [\Gamma (\alpha+t)]-\log [\Gamma (\alpha)]$

M (t)

$M (t)$

s k e w = K^{(3)} (0) = ψ^{(2)} (α)

$skew=K^{(3)}(0)=\psi^{(2)}(\alpha)$

ψ^{(n)} (z)

$\psi^{(n)}(z)$

— probabilityislogic

@probabilityislogic: muito bom chamada, mudou a minha resposta

— Francis

@probabilityislogic Este é um ótimo complemento, muito obrigado. Eu só quero observar, para que alguns leitores não se confundam, que a distorção não é dada diretamente pelo terceiro cumulante: é o terceiro momento padronizado, não o terceiro momento central. Francis está correto em sua resposta, mas a última fórmula em seu comentário não está correta.

— Ameba diz Reinstate Monica

I. Cálculo direto

Gradshteyn & Ryzhik [1] (seção 4.358, 7a ed) listam formulários fechados explícitos para para enquanto o caso é feito em 4.352 (supondo que você considere expressões nas funções e como forma fechada) - a partir da qual é definitivamente factível até a curtose; eles fornecem a integral para todos os como derivado de uma função gama; portanto, presumivelmente, é possível subir mais. Portanto, a assimetria é certamente factível, mas não especialmente "pura".

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$

p = 1

$p=1$

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$

ζ

$\zeta$

p

$p$

Detalhes da derivação das fórmulas em 4.358 estão em [2]. Vou citar as fórmulas fornecidas lá, uma vez que elas são declaradas de maneira um pouco mais sucinta e colocar 4.352.1 na mesma forma.

Seja . Então: $\delta= \psi(a)-\ln \mu$

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- μ x} \ln x d x & = \frac{Γ (a)}{μ^{a}} {δ} \\ \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- μ x} \ln^{2} x d x & = \frac{Γ (a)}{μ^{a}} {δ^{2} + ζ (2, a)} \\ \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- μ x} \ln^{3} x d x & = \frac{Γ (a)}{μ^{a}} {δ^{3} + 3 ζ (2, a) δ - 2 ζ (3, a)} \\ \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- μ x} \ln^{4} x d x & = \frac{Γ (a)}{μ^{a}} {δ^{4} + 6 ζ (2, a) δ^{2} - 8 ζ (3, a) δ + 3 ζ^{2} (2, a) + 6 ζ (4, a))} \end{aligned}

$\begin{align} \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^2\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^2+\zeta(2,a) \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^3\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^3+3\zeta(2,a)\delta-2\zeta(3,a) \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^4\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^4+6\zeta(2,a)\delta^2-8\zeta(3,a)\delta + 3\zeta^2(2,a)+6\zeta(4,a)) \right\} \end{align}$

onde é a função zw de Hurwitz (a função zie de Riemann é o caso especial ) $\zeta(z,q)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q)^z}$ $q=1$

Agora vamos aos momentos do log de uma variável aleatória gama.

Observando, em primeiro lugar, que na escala logarítmica, o parâmetro de escala ou taxa da densidade gama é meramente um parâmetro de deslocamento, portanto, não tem impacto nos momentos centrais; podemos usar o que estiver usando para ser 1.

Se então $X\sim \text{Gamma}(\alpha,1)$

E ({registro}^{p} X) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{0 0}^{\infty} {registro}^{p} x x^{α - 1} e^{- x} d x .

$E(\log^{p}\!X) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty \log^{p}\!x\, x^{\alpha-1} e^{-x} \,dx.$

Podemos definir nas fórmulas integrais acima, o que nos dá momentos brutos; temos , , , . $\mu=1$ $E(Y)$ $E(Y^2)$ $E(Y^3)$ $E(Y^4)$

Como eliminamos do exposto, sem medo de confusão, agora estamos livres para reutilizar para representar o ésimo momento central da maneira usual. Podemos então obter os momentos centrais a partir dos momentos brutos através das fórmulas usuais . $\mu$ $\mu_k$ $k$

Então podemos obter a assimetria e curtose como e . $\frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}$ $\frac{\mu_4}{\mu_2^{2}}$

Uma nota sobre terminologia

Parece que as páginas de referência da Wolfram escrevem os momentos dessa distribuição (eles chamam de distribuição ExpGamma ) em termos da função poligamma .

Por outro lado, Chan (veja abaixo) chama isso de distribuição log-gama.

II Fórmulas de Chan via MGF

Chan (1993) [3] fornece o mgf como o muito puro . $\Gamma(\alpha+t)/\Gamma(\alpha)$

(Uma boa derivação disso é dada na resposta de Francis, usando o simples fato de que o mgf de é apenas .) $\log(X)$ $E(X^t)$

Consequentemente, os momentos têm formas bastante simples. Chan dá:

E (Y) = ψ (α)

$E(Y)=\psi(\alpha)$

e os momentos centrais como

\begin{aligned} E (Y - μ_{Y})^{2} & = ψ^{'} (α) \\ E (Y - μ_{Y})^{3} & = ψ^{″} (α) \\ E (Y - μ_{Y})^{4} & = ψ^{‴} (α) \end{aligned}

$\begin{align} E(Y-\mu_Y)^2 &= \psi'(\alpha) \\ E(Y-\mu_Y)^3 &= \psi''(\alpha) \\ E(Y-\mu_Y)^4 &= \psi'''(\alpha) \end{align}$

e assim a assimetria é e a curtose é . Presumivelmente, as fórmulas anteriores que tenho acima devem simplificar essas. $\psi''(\alpha)/(\psi'(\alpha)^{3/2})$ $\psi'''(\alpha)/(\psi'(\alpha)^{2})$

Convenientemente, R oferece as funções digamma ( ) e trigamma ( ), bem como a função poligamma mais geral em que você seleciona a ordem da derivada. (Vários outros programas oferecem funções igualmente convenientes.) $\psi$ $\psi'$

Conseqüentemente, podemos calcular a assimetria e curtose diretamente no R:

skew.eg <- function(a) psigamma(a,2)/psigamma(a,1)^(3/2)
kurt.eg <- function(a) psigamma(a,3)/psigamma(a,1)^2

Tentando alguns valores de a( acima), reproduzimos as primeiras linhas da tabela no final da Seção 2.2 em Chan [3], exceto que os valores de curtose nessa tabela devem ser excesso de curtose, mas Acabei de calcular a curtose pelas fórmulas dadas acima por Chan; estes devem diferir por 3. $\alpha$

(Por exemplo, para o log de um exponencial, a tabela diz que o excesso de curtose é 2,4, mas a fórmula para é ... e isso é 2,4. ) $\beta_2$ $\psi'''(1)/\psi'(1)^2$

A simulação confirma que, à medida que aumentamos o tamanho da amostra, a curtose de um log de um exponencial está convergindo para cerca de 5,4 e não 2,4. Parece que a tese possivelmente possui um erro.

Consequentemente, as fórmulas de Chan para momentos centrais parecem realmente ser as fórmulas para os cumulantes (veja a derivação na resposta de Francis). Isso significava que a fórmula de assimetria estava correta como está; porque o segundo e o terceiro cumulantes são iguais ao segundo e terceiro momentos centrais.

No entanto, essas são fórmulas particularmente convenientes, desde que tenhamos em mente que kurt.egestá dando excesso de curtose.

Referências

[1] Gradshteyn, IS e Ryzhik IM (2007), Tabela de integrais, séries e produtos, 7ª ed.
Academic Press, Inc.

[2] Victor H. Moll (2007)
As integrais em Gradshteyn e Ryzhik, Parte 4: A função gama
SCIENTIA Série A: Mathematics Sciences, vol. 15, 37–46
Universidade Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile
http://129.81.170.14/~vhm/FORM-PROOFS_html/final4.pdf

[3] Chan, PS (1993),
um estudo estatístico da distribuição log-gama,
Universidade McMaster (tese de doutorado)
https://macsphere.mcmaster.ca/bitstream/11375/6816/1/fulltext.pdf

— Glen_b -Reinstate Monica
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Legal. Muito obrigado! De acordo com a entrada da enciclopédia que Stephan vinculou acima, a resposta final para assimetria é (que quase se qualifica como "pura"!). Então parece que todos os zetas assustadores terão que cancelar.

ψ^{″} (α) / ψ^{'} (α)^{3 / 2}

$\psi''(\alpha)/\psi'(\alpha)^{3/2}$

— Ameba diz Reinstate Monica

Desculpe, só agora vi seu comentário (estou editando há cerca de uma hora); isso está correto, embora, se a Enciclopédia der a curtose da maneira que Chan faz em sua tese, parece que ela está errada (como foi dada acima), mas prontamente corrigida. As fórmulas limpas parecem ser para cumulantes, e não para momentos centrais padronizados.

— Glen_b -Reinstate Monica

Sim, a Enciclopédia fornece a mesma fórmula para a curtose.

— Ameba diz Reinstate Monica

γ_{1}

$\gamma_1$

γ_{2}

$\gamma_2$

ψ^{(n)} (z) = (- 1)^{n + 1} Γ (n + 1) ζ (n + 1, z)

$\psi^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,\Gamma(n+1)\,\zeta(n+1,z)$