A pergunta (levemente modificada) segue a seguinte e se você nunca a encontrou antes, pode verificá-la no exemplo 6a, capítulo 2, do primeiro curso de probabilidade de Sheldon Ross :

Suponha que possuamos uma urna infinitamente grande e uma coleção infinita de bolas rotuladas como número 1, número 2, número 3 e assim por diante. Considere um experimento realizado da seguinte maneira: de 1 a 12 horas, bolas numeradas de 1 a 10 são colocadas na urna e uma bola removida aleatoriamente. (Suponha que a retirada não demore.) Às 13h às 12h, bolas numeradas de 11 a 20 são colocadas na urna e outra bola removida aleatoriamente. De 1/4 a 12 da tarde, bolas numeradas de 21 a 30 são colocadas na urna e outra bola removida aleatoriamente ... e assim por diante. A questão de interesse é: quantas bolas existem na urna às 12h?

Essa pergunta, como é colocada, força basicamente todo mundo a errar - geralmente a intuição é dizer que haverá infinitas bolas às 12h. A resposta fornecida por Ross, no entanto, é que, com probabilidade uma, a urna estará vazia às 12h

Ao ensinar a teoria das probabilidades, esse problema é um dos quais é muito difícil dar uma boa explicação intuitiva.

Por um lado, você pode tentar explicá-lo assim: "pense na probabilidade de qualquer bola estar na urna às 12h. Durante os infinitos sorteios aleatórios, ela será removida. Como isso vale para todas as bolas, nenhuma deles pode estar lá no final ".

No entanto, os alunos discutirão corretamente com você: "mas estou colocando 10 bolas e removendo 1 bola de cada vez. É impossível que não haja zero bolas no final".

Qual é a melhor explicação que podemos dar a eles para resolver essas intuições conflitantes?

Também estou aberto ao argumento de que a questão é mal colocada e que, se a formularmos melhor, o "paradoxo" desaparece ou ao argumento de que o paradoxo é "puramente matemático" (mas, por favor, tente ser preciso).

Ross descreve três versões desse "paradoxo" no Exemplo 6a em seu livro . Em cada versão, 10 bolas são adicionadas à urna e 1 bola é removida em cada etapa do procedimento.

1. Na primeira versão, a nona bola é removida na ésima etapa. Existem inúmeras bolas após a meia-noite, porque todas as bolas com números que não terminam em zero ainda estão lá.$10n$$n$

2. Na segunda versão, a ésima bola é removida na ésima etapa. Não há mais bolas após a meia-noite, porque cada bola será removida no passo correspondente.$n$$n$

3. Na terceira versão, as bolas são removidas uniformemente aleatoriamente. Ross calcula a probabilidade de cada bola ser removida pela etapa e descobre que ela converge para como (observe que isso não é evidente! É preciso executar a computação). Isso significa, pela desigualdade de Boole , que a probabilidade de ter zero bolas no final também é .1 n → ∞ $n$$1$$n\to\infty$$1$

Você está dizendo que esta última conclusão não é intuitiva e difícil de explicar; isso é maravilhosamente suportado por muitas respostas e comentários confusos neste mesmo tópico. No entanto, a conclusão da segunda versão é exatamente tão intuitiva! E isso não tem absolutamente nada a ver com probabilidade ou estatística. Eu acho que depois que se aceita a segunda versão, não há mais nada particularmente surpreendente na terceira versão.

Portanto, enquanto a discussão "probabilística" deve ser sobre a terceira versão [ver respostas muito perspicazes de @ paw88789, @Paul e @ekvall], a discussão "filosófica" deve se concentrar na segunda versão, que é muito mais fácil e é semelhante em espírito ao hotel do Hilbert .

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A segunda versão é conhecida como o paradoxo de Ross-Littlewood . Eu link para a página da Wikipedia, mas a discussão é terrivelmente confusa e eu não recomendo a leitura. Em vez disso, dê uma olhada neste thread do MathOverflow de anos atrás . Está fechado agora, mas contém várias respostas muito perceptivas. Um breve resumo das respostas que considero mais cruciais é o seguinte.

Podemos definir um conjunto das bolas presentes na urna após o passo . Temos que , , etc. Há uma noção matematicamente bem definida do limite de uma sequência de conjuntos e pode-se provar rigorosamente que o limite dessa sequência existe e é o conjunto vazio . De fato, quais bolas podem estar no conjunto de limites? Somente os que nunca são removidos. Mas toda bola é removida. Então o limite está vazio. Podemos escrever . n S 1 = { 2 , … 10 } S 2 = { 3 , … 20 } ∅ S n → $S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

Ao mesmo tempo, o númerodas bolas no conjunto , também conhecida como cardinalidade desse conjunto, é igual a . A sequência é obviamente divergente, o que significa que a cardinalidade converge para a cardinalidade de , também conhecida como aleph-zero . Então, podemos escrever isso .S n 10 n - n = 9 n 9 n N ℵ 0 | S n | → ℵ $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

O "paradoxo" agora é que essas duas declarações parecem contradizer uma à outra:

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

Mas é claro que não há paradoxo real nem contradição. Ninguém disse que tomar cardinalidade é uma operação "contínua" em sets, portanto não podemos trocá-lo com o limite:Em outras palavras, do fato de que para todo o número inteiro , não podemos concluir que(o valor no primeiro ordinal ) é igual a . Em vez disso,precisa ser calculado diretamente e acaba sendo zero.| S n | = 9 n n ∈ N | S w | ∞ | S w

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

Então, acho que o que realmente tiramos disso é a conclusão de que tomar cardinalidades é uma operação descontinuada ... [@HarryAltman]

Então, acho que esse paradoxo é apenas a tendência humana de assumir que operações "simples" são contínuas. [@NateEldredge]

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Isso é mais fácil de entender com funções, em vez de conjuntos. Considere uma função característica (também conhecida como indicador) do conjunto que é definida como igual a uma no intervalo e zero em outro lugar. As dez primeiras funções são assim (compare a arte ASCII da resposta de @ Hurkyl):S n [ n , 10 n $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

Todos concordam que, para cada ponto , temos . Isso por definição significa que as funções convergem para a função . Mais uma vez, todos concordarão com isso. No entanto, observe que as integrais dessas funções e aumentam e a sequência de integrais diverge. Em outras palavras, lim f n ( um ) = 0 f n ( x ) g ( x ) = 0 ∫ ∞ 0 f ( x ) d x = 9 $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

Este é um resultado de análise completamente padrão e familiar. Mas é uma reformulação exata do nosso paradoxo!

Uma boa maneira de formalizar o problema é descrever o estado do jarro não como um conjunto (um subconjunto de ), porque é difícil adotar limites, mas como sua função característica. O primeiro "paradoxo" é que os limites pontuais não são iguais aos limites uniformes. [@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

O ponto crucial é que "à meia - noite " toda a sequência infinita já passou , ou seja, fizemos um "salto trasfinito" e chegamos ao estado transfinito . O valor da integral "ao meio-dia da meia - noite " deve ser o valor da integral de , e não o contrário.lim f $f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

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Observe que algumas das respostas neste tópico são enganosas, apesar de altamente votadas.

Em particular, o @cmaster calcula que é realmente infinito, mas não é sobre isso que o paradoxo pergunta. O paradoxo pergunta sobre o que acontece após toda a sequência infinita de etapas; essa é uma construção transfinita e, portanto, precisamos calcular que é igual a zero, conforme explicado acima.ballCount ( S ω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Hurkyl (em uma resposta) e Dilip Sarwate (em um comentário) fornecem duas variantes determinísticas comuns desse quebra-cabeça. Nas duas variantes, no passo , as esferas a são adicionadas à pilha ( ). 10 k - 9 10 k k = 1 , 2 , . . $k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

Na variação de Hurkyl, a bola é removida. Nesta variante, pode-se argumentar definitivamente que não existem bolas porque a bola é removida na etapa .n $k$$n$$n$

Na variação de Dilip Sarwate, a bola é removida na etapa e, nessa variante, todas as bolas que não são múltiplos de permanecem. Nesta variante, existem infinitas bolas na urna no final.k $10k$$k$$10$

Com essas duas variantes como casos extremos, vemos que muitas coisas diferentes podem acontecer ao executar esse processo. Por exemplo, você pode fazer com que qualquer conjunto finito de bolas permaneça no final, executando o processo de Hurkyl, mas ignorando a remoção de certas bolas. De fato, para qualquer conjunto com complemento infinitamente contável (nos números naturais (positivos)), você pode ter esse conjunto de bolas restante no final do processo.$B$

Poderíamos considerar a variação aleatória do problema (fornecida na postagem original) como selecionando uma função com as condições em que (i) é individual e (ii) para todos os . f f ( k ) ≤ 10 k k ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

O argumento apresentado no livro de Sheldon Ross (mencionado no post) mostra que quase todas (no sentido probabilístico) tais funções são, de fato, funções (exceções).

Vejo isso como algo análogo à situação de selecionar um número, de uma distribuição uniforme em e perguntar qual é a probabilidade de que o número esteja no conjunto Cantor (estou usando o conjunto Cantor em vez de dizer os números racionais porque o conjunto Cantor é incontável). A probabilidade é mesmo que haja muitos (incontáveis ​​muitos) números no conjunto Cantor que poderiam ter sido escolhidos. No problema de remoção de bola, o conjunto de seqüências em que restam bolas está desempenhando o papel do conjunto Cantor.[ 0 , 1 ] $x$$[0,1]$$0$

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Edit: BenMillwood corretamente indica que existem alguns conjuntos finitos de bolas que não podem ser o conjunto restante. Por exemplo, não pode ser o conjunto restante. Você pode ter no máximo das primeiras bolas restantes para .90 % 10 n n = 1 , 2 , 3 , . . $1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

A resposta da Enumaris está perfeitamente correta no problema dos limites divergentes. No entanto, a pergunta pode realmente ser respondida de maneira inequívoca. Portanto, minha resposta mostrará exatamente onde a solução das bolas zero dá errado e por que a solução intuitiva é a correta.

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É verdade que, para qualquer bola , a probabilidade de ele estar na urna no final é zero. Para ser preciso, é apenas o limite que é zero: .P ( n ) P ( n ) = lim N → ∞ P ( n , N ) = $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

Agora, você tenta calcular a soma O cálculo quebrado salta direto para a parte , dizendo que é zero no limite, portanto a soma contém apenas termos de zero, portanto a soma é o próprio zero: P(n,N) lim N → ∞ bolaContagem ( N

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

No entanto, isso divide ilegalmente o em duas partes independentes. Você não pode simplesmente mover o para a soma se os limites da soma dependerem do parâmetro do . Você deve resolver o como um todo.lim lim$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

Portanto, a única maneira válida de resolver isso é resolver a soma primeiro, usando o fato de que para qualquer finito . ∑ n ≤ 10 N n = 1 P ( n , N ) = 9 N N lim N → ∞ ballCount ( N $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

A solução intuitiva fez exatamente isso, é a solução "inteligente" que está fundamentalmente quebrada.

Esse argumento está focado na tendência de conjuntos e seqüências infinitas se comportarem de maneiras unitárias e positivas. Isso não é mais surpreendente que o Hilbert Hotel . Nesse caso, você terá retirado um número infinito de bolas, mas terá colocado um número infinito. Considere o Hotel Hilbert ao contrário. Você pode remover um número infinito de hóspedes do hotel e ainda ter um número infinito.

Se isso é fisicamente realizável é outra questão inteiramente.

Como tal, consideraria que não é necessariamente mal formado, mas sim colocado no livro errado. Esse tipo de pergunta de contagem pertence a um curso de teoria de conjuntos, não a um curso de probabilidade.

Eu acho que ajuda a remover o componente temporal supérfluo do problema.

A variante mais básica desse paradoxo é sempre remover a bola numerada mais baixa. Para facilitar o desenho, também adicionarei apenas duas bolas em cada etapa.

O procedimento descreve como preencher uma grade bidimensional infinita:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

onde cada linha é formada a partir da anterior, adicionando dois asteriscos à direita e removendo a mais à esquerda.

As perguntas que se fazem então são:

Quantas colunas terminam com asteriscos repetidos em vez de pontos repetidos?

Na minha opinião, a idéia de equacionar equivocadamente esse resultado com "o limite do número de asteriscos em cada linha" é muito menos atraente.

Esta resposta tem como objetivo fazer quatro coisas:

1. Revise a formulação matemática de Ross do problema, mostrando como ele segue direta e inequivocamente a partir da descrição do problema.

2. Defenda a posição de que a solução paradoxal de Ross é matematicamente sólida e relevante para nossa compreensão do mundo físico, seja 100% fisicamente realizável ou não.

3. Discuta certos argumentos falaciosos enraizados na intuição física e mostre que a solução "física" freqüentemente declarada de bolas infinitas ao meio-dia não está apenas em contradição com a matemática, mas também com a física.

4. Descreva uma implementação física do problema que pode tornar a solução de Ross mais intuitiva. Comece aqui para obter a resposta à pergunta original de Carlos.

1. Como descrever o problema matematicamente

Descompactaremos o passo inicial de "modelagem de processos infinitos" do argumento de Ross (p. 46) . Aqui está a declaração que focaremos em justificar:

Defina como o evento que a bola número 1 ainda está na urna após os primeiros n levantamentos terem sido realizados ... O evento que a bola número 1 está na urna às 12h é apenas o evento .⋂ ∞ n = 1 E $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

Antes de descompactar a declaração de Ross, vamos considerar como é possível entender o conteúdo da urna ao meio-dia, após uma sequência infinita de operações. Como poderíamos saber o que há na urna? Bem, vamos pensar em uma bola específica ; você pode imaginar ou ou o que quiser. Se a bola foi retirada em alguma fase do processo antes do meio dia, certamente não estará na urna ao meio dia. E, inversamente, se uma determinada bola estava na urna em todas as etapas do processo até o meio dia (após a adição), ela estava na urna ao meio dia. Vamos escrever estas declarações formalmente:b = 1 1000 $b$$b=1$$1000$$b$

Uma bola está na urna ao meio-dia se, e somente se, estava na urna em todas as etapas antes do meio dia, em que é o estágio em que bola foi adicionada à urna.n ∈ { n b , n b + 1 , n b + 2 , . . . } n $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

Agora vamos descompactar a declaração de Ross - o que significa em inglês simples? Vamos pegar uma única realização do processo da urna e discutir:$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$ significa que a bola 1 está na urna após o estágio 1 do processo.
• $x \in E_1 \bigcap E_2$ significa que a bola 1 está na urna após os estágios 1 e 2 do processo.
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$ significa que a bola 1 está na urna após os estágios 1, 2 e 3 do processo.
• Para qualquer , significa que a bola está na urna após os estágios a .X ∈ ⋂ n k = 1 E k 1 $k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

Claramente, então, significa que, na realização desse processo de urna, a bola 1 está na urna após os estágios 1, 2, 3, et cetera : todos os estágios finitos antes do meio dia. A interseção infinita é apenas outra maneira de escrever que, então contém precisamente as realizações do processo em que a bola 1 estava na urna. estágios antes do meio dia. Um evento é apenas um conjunto definido de realizações de um processo, portanto, a última frase é precisamente equivalente a dizer que é o evento em que a bola 1 estava na urna em todas as etapas antes do meio dia, para este processo aleatório. x k ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

Agora, a piada: pela nossa declaração "se e somente se" acima, é exatamente o mesmo que dizer que a bola 1 estava na urna ao meio-dia! Então é o evento em que a bola 1 está na urna ao meio-dia, exatamente como Ross afirmou originalmente. QED$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

Na derivação acima, tudo o que dissemos é igualmente válido para as versões determinística e probabilística, porque a modelagem determinística é um caso especial de modelagem probabilística em que o espaço da amostra possui um elemento. Nenhum conceito teórico ou probatório de medida foi usado, além das palavras "evento" e "realização" (que são apenas um jargão para "conjunto" e "elemento").

2. A solução paradoxal é matematicamente sólida e relevante para a física

Após esse ponto de configuração, as variantes determinística e probabilística divergem. Na variante determinística (versão 2 do post da ameba), sabemos que a bola 1 é retirada no primeiro passo, então e a interseção infinita, é claro, também estão vazias. Da mesma forma, qualquer outra bola é retirada no estágio e não está presente ao meio-dia. Assim, a urna não pode conter nenhuma bola numerada ao meio-dia e, portanto, deve estar vazia.b b $E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

Na variante probabilística, o mesmo fenômeno ocorre, apenas no sentido mais suave da "expectativa". A probabilidade de uma bola estar presente diminui para zero quando nos aproximamos do meio-dia e, no tempo limite do meio-dia, a bola quase certamente não está presente. Como cada bola está presente com probabilidade zero e a soma de infinitos zeros ainda é zero, quase certamente não há bolas na urna ao meio-dia. Tudo isso é mostrado completamente rigorosamente por Ross; os detalhes podem ser preenchidos com um conhecimento da teoria das medidas no nível de pós-graduação, como mostra a resposta de @ ekvall.

Se você aceitar os argumentos padrão sobre objetos matemáticos expressos como seqüências infinitas, por exemplo , o argumento aqui deve ser igualmente aceitável, pois se baseia exatamente nos mesmos princípios. A única questão que resta é se a solução matemática se aplica ao mundo real ou apenas ao mundo platônico da matemática. Essa questão é complexa e é discutida mais adiante na seção 4.$0.999... = 1$

Dito isto, não há razão para pressupor que o problema da urna infinita não seja físico ou para rejeitá-lo como irrelevante, mesmo que não seja físico. Muitas idéias físicas foram obtidas com o estudo de estruturas e processos infinitos, por exemplo, fios infinitos e treliças de percolação . Nem todos esses sistemas são necessariamente realizáveis ​​fisicamente, mas sua teoria molda o restante da física. O próprio cálculo é "anti-físico" em alguns aspectos, porque não sabemos se é possível perceber fisicamente as distâncias e os tempos arbitrariamente pequenos que costumam ser objeto de estudo. Isso não nos impede de colocar o cálculo em um uso incrivelmente bom nas ciências teóricas e aplicadas.

3. A falta de fisicalidade das soluções baseadas na "intuição física"

Para aqueles que ainda acreditam que a matemática de Ross está errada ou fisicamente imprecisa na variante determinística, e a verdadeira solução física é infinitamente numerosa: independentemente do que você acha que acontece ao meio-dia, é impossível negar a situação antes do meio-dia: toda bola numerada adicionado à urna eventualmente é removido. Portanto, se você acha que ainda existem infinitamente muitas bolas na urna ao meio-dia, você deve admitir que nenhuma dessas bolas pode ser adicionada antes do meio dia. Portanto, essas bolas devem ter vindo de outro lugar: você está afirmando que infinitamente muitas bolas, não relacionadas ao processo original do problema, surgem repentinamente ao meio-dia para salvar a continuidade da cardinalidade de ser violada.Por mais não-física que a solução do "conjunto vazio" possa parecer intuitivamente, essa alternativa é objetiva e comprovadamente não-física. Coleções infinitas de objetos não surgem em um instante apenas para satisfazer intuições humanas pobres sobre o infinito.

A falácia comum aqui parece ser que podemos apenas olhar para o número de bolas à medida que o tempo se aproxima do meio-dia e assumir que a tendência divergente produz infinitas bolas ao meio-dia, sem levar em conta exatamente quais bolas estão sendo retiradas e retiradas. Houve até uma tentativa de justificar isso com o "princípio da indiferença", que afirma que a resposta não deve depender se as bolas são rotuladas ou não.

De fato, a resposta não depende se as bolas são rotuladas ou não, mas esse é um argumento para a solução de Ross, não contra. Do ponto de vista da física clássica, as bolas são efetivamente rotuladas, se você as considera rotuladas ou não. Eles têm identidades permanentes distintas, que são equivalentes a rótulos, e uma análise verdadeiramente física deve explicar isso, independentemente de os números estarem literalmente escritos nas bolas. Os rótulos em si não afetam diretamente como a solução sai, mas são necessários para descrever exatamente como as bolas são movimentadas. Alguns procedimentos deixam as bolas na urna para sempre, outros removem todas as bolas adicionadas e são necessários rótulos para descrever a diferença entre esses procedimentos.Tentar ignorar os rótulos não é "físico", é apenas deixar de entender o problema físico com precisão suficiente para resolvê-lo. (O mesmo vale para variantes complicadas que reorganizam os rótulos em cada estágio. O que importa é quais bolas estão na urna, e não os rótulos que alguém colocou ou substituiu nelas. Isso pode ser determinado ignorando o esquema de mudança de nome completamente e simplesmente usando um único esquema de rotulagem imutável, o do problema original de Ross.)

A única maneira de a diferenciabilidade falhar em ser verdadeira é se as "bolas" forem partículas mecânicas quânticas. Nesse caso, o princípio da indiferença falha espetacularmente. A física quântica nos diz que partículas indistinguíveis se comportam de maneira completamente diferente das partículas distinguíveis. Isso tem consequências incrivelmente fundamentais para a estrutura do nosso universo, como o princípio da exclusão de Pauli, que talvez seja o princípio mais importante da química. Ninguém tentou analisar uma versão quântica desse paradoxo ainda.

4. Descrevendo a solução fisicamente

Vimos como vagas intuições "físicas" podem nos desviar desse problema. Inversamente, verifica-se que uma descrição fisicamente mais precisa do problema nos ajuda a entender por que a solução matemática é realmente a que faz mais sentido físico.

Considere um universo newtoniano infinito governado pelas leis da mecânica clássica. Este universo contém dois objetos: uma prateleira infinita e uma urna infinita, que começam na origem do universo e correm um ao lado do outro, com um pé de distância, para todo o sempre. A prateleira fica na linha pés, enquanto a urna fica na linha pé. Ao longo da prateleira, são colocadas infinitamente muitas bolas idênticas, espaçadas uniformemente com um pé de distância, o primeiro sendo um pé da Origem (portanto, a bola está na linha pés). A urna - que é realmente como a prateleira, mas um pouco mais ornamentada, fechada e geralmente urinária - está vazia.y = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

Um corredor conecta a prateleira e a urna na parte inferior e, no topo do corredor, na origem, fica um robô Endeavor com uma fonte de alimentação infinita. Começando às 11h, o Endeavor ativa e começa a dar zoom no corredor, transferindo bolas entre a urna e a prateleira, de acordo com as instruções programadas por Ross-Littlewood:

• Quando o programa ordena que a bola seja inserida na urna, a bola pés da Origem é transferida da prateleira para a urna.$n$$n$
• Quando o programa ordena que a bola seja removida da urna, a bola pés da Origem é transferida da urna para a prateleira.$n$$n$

Em ambos os casos, a transferência é feita diretamente, de modo que a bola permanece a metro da Origem. O processo se desenrola conforme especificado no problema de Ross-Littlewood:$n$

• Às 11:00, o Endeavor transfere as bolas de 1 a 10 da Shelf para a Urna e depois move uma das bolas de Urna de volta para a Shelf.
• Às 11:30, o Endeavor transfere as bolas 11 a 20 da Shelf para a Urna e depois move uma das bolas da Urna de volta para a Shelf.
• Às 11h45, o Endeavor transfere as bolas 21 a 30 da Shelf para a Urna, depois move uma das bolas da Urna de volta para a Shelf.
• et cetera ...

À medida que o processo continua, cada nova etapa requer viagens mais longas para cima e para baixo no corredor, e apenas metade do tempo para fazer as viagens. Portanto, o Endeavor deve subir e descer o corredor exponencialmente mais rápido à medida que o meio-dia se aproxima. Mas ele sempre acompanha o programa, porque possui uma fonte de alimentação infinita e pode se mover o mais rápido necessário. Eventualmente, o meio-dia chega.

O que acontece nesta versão mais vividamente imaginada do paradoxo? Observada de cima, a abordagem para o meio-dia é realmente espetacular. Dentro da urna, uma onda de bolas parece se propagar para fora da origem. O tamanho e a velocidade da onda crescem sem limites à medida que o meio-dia se aproxima. Se tirássemos fotos imediatamente após cada etapa, como seria o layout das bolas? No caso determinístico, eles se pareceriam exatamente com as funções do passo na resposta da ameba. As posições da bola seguiriam precisamente as curvas que ele traçou. $(x, y)$No caso probabilístico, seria mais ou menos semelhante, mas com mais dificuldades perto da Origem.

Quando chega o meio-dia, fazemos um balanço do que aconteceu. Na versão determinística, cada bola foi transferida da prateleira para a urna exatamente uma vez e depois recuada mais tarde, com as duas transferências ocorrendo antes do meio dia. Ao meio-dia, o Universo deve estar de volta ao seu estado original das 11 horas. A onda não existe mais. Cada bola está de volta exatamente onde começou. Nada mudou. A urna está vazia. Na versão probabilística, acontece o mesmo, exceto agora que o resultado é quase certo e não certo.

Nos dois casos, "objeções físicas" e reclamações sobre o infinito parecem desaparecer no ar. Claro que a urna está vazia ao meio-dia. Como poderíamos ter imaginado o contrário?

O único mistério remanescente é o destino do Endeavour. Seu deslocamento da Origem e sua velocidade tornaram-se arbitrariamente grandes à medida que o meio-dia se aproximava; assim, ao meio-dia, o Endeavour não é encontrado em nenhum lugar no nosso infinito Universo Newtoniano. A perda do Endeavor é a única violação da física que ocorreu durante o processo.

Nesse ponto, alguém poderia objetar que o Endeavour não é fisicamente possível, uma vez que sua velocidade cresce sem limites e acabaria por violar o limite relativístico, a velocidade da luz. No entanto, podemos alterar um pouco o cenário para resolver esse problema. Em vez de um único robô, poderíamos ter infinitos robôs, cada um responsável por uma única bola. Poderíamos programá-los com antecedência para garantir uma coordenação e um timing perfeito, de acordo com as instruções de Ross.

Essa variação é 100% física? Provavelmente não, porque os robôs teriam que operar com um tempo arbitrariamente preciso. À medida que nos aproximamos do meio dia, a precisão exigida acabaria caindo abaixo do tempo de Planck e criaria problemas de mecânica quântica. Mas, em última análise, um fio infinito e uma rede de percolação infinita também podem não ser tão físicos assim. Isso não nos impede de estudar sistemas e processos infinitos e determinar o que aconteceria se as restrições físicas obstrutivas fossem suspensas.

4a Por que a monotonicidade do conde é violada

Vários céticos de Ross questionaram como é possível que o número de bolas na urna aumente sem limite quando nos aproximamos do meio dia, e então é zero ao meio dia. Por fim, devemos acreditar em uma análise rigorosa sobre nossa própria intuição, que muitas vezes está errada, mas há uma variação do paradoxo que ajuda a iluminar esse mistério.

Suponha que, em vez de infinitas bolas, tenhamos bolas rotuladas 1, 2, 3, até e emita o seguinte acréscimo às regras para o movimentador de bolas:10 $10N$$10N$

• Se as instruções solicitarem que você mova uma bola que não existe, ignore essa instrução.

Observe que o problema original é inalterado se adicionarmos a ela esta instrução, pois a instrução nunca será ativada com infinitas bolas. Assim, podemos pensar no problema original e nessa nova família de problemas como parte da mesma família, com as mesmas regras. Examinar a família finita , especialmente para muito grande , pode nos ajudar a entender o caso "N = ".N $N$$N$$\infty$

Nesta variação, as bolas acumulam 9 por etapa como antes, mas apenas até a etapa do processo. Então, os números das bolas a serem adicionadas não correspondem mais às bolas reais, e só podemos seguir as instruções para remover as bolas, e o processo é interrompido após etapas adicionais, para um total de etapas. Se for muito grande, a fase de remoção ocorre muito perto do meio-dia, quando as tarefas estão sendo executadas muito rapidamente e a urna é esvaziada muito rapidamente.9 N 10 N $N$$9N$$10N$$N$

Agora, suponha que façamos essa variação do experimento para cada valor de e representemos graficamente a contagem de bolas ao longo do tempo, , em que varia de 0 a 1 hora após as 11h (ou seja, 11h ao meio-dia). Normalmente, aumenta por um tempo e depois volta a zero em ou antes de . No limite em que aproxima do infinito, o gráfico aumenta cada vez mais e a queda é cada vez mais rápida. Ao meio-dia a urna está sempre vazia: . No gráfico limitador, , a curva se aproxima do infinito para masf N ( t ) t f N ( t ) t = 1 N f N ( 1 ) = 0 f ( t ) = lim N → ∞ f N ( t ) t < 1 f ( 1 ) = 0 N → $N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$. Este é precisamente o resultado obtido na prova de Ross: a contagem de bolas diverge até o infinito antes do meio dia, mas é zero ao meio dia. Em outras palavras, a solução de Ross preserva a continuidade em relação a N: o limite pontual da contagem de bolas como corresponde à contagem de bolas no caso de bola infinita.$N \rightarrow \infty$

Não considero isso um argumento primário para a solução de Ross, mas pode ser útil para quem fica intrigado com o motivo pelo qual a contagem de bolas sobe para sempre, do que cai para zero ao meio-dia. Embora estranho, é o comportamento limitador da versão finita do problema como e, portanto, não é um "choque repentino" no caso infinito.$N \rightarrow \infty$

Uma Reflexão Final

Por que esse problema provou ser um poço de alcatrão para tantos? Minha especulação é que nossa intuição física é muito mais vaga do que pensamos, e muitas vezes tiramos conclusões baseadas em concepções mentais imprecisas e incompletas. Por exemplo, se eu lhe pedir que pense em um quadrado que também é um círculo, você pode imaginar algo quadrado e circular, mas não serão precisamente as duas coisas - isso seria impossível. A mente humana pode facilmente misturar conceitos vagos e contraditórios em uma única imagem mental. Se os conceitos são menos familiares, como o Infinito, podemos nos convencer de que esses vagos mashups mentais são na verdade concepções da Coisa Real.

É exatamente isso que acontece no problema da urna. Realmente não concebemos a coisa toda de uma só vez; pensamos em partes dele, como quantas bolas existem ao longo do tempo. Acenamos com detalhes técnicos supostamente irrelevantes, como o que acontece com cada bolinha humilde ao longo do tempo ou como exatamente uma "urna" pode conter infinitas bolas. Negligenciamos expor todos os detalhes com precisão, sem perceber que o resultado é uma mistura de modelos mentais inconsistentes e incompatíveis.

A matemática foi projetada para nos resgatar dessa condição. Ele nos disciplina e nos leva a enfrentar o desconhecido e o exótico. Exige que pensemos duas vezes sobre o que "deve" ser verdade ... certo? Isso nos lembra que, por mais estranhas que sejam as coisas, uma e uma ainda são duas, uma bola está na urna ou não, e uma afirmação é verdadeira ou falsa. Se persistirmos, esses princípios acabarão trazendo clareza à maioria dos nossos problemas.

Aqueles que subordinam a análise matemática a intuições "físicas" ou "de senso comum" o fazem por sua conta e risco. Acenar com as mãos sobre intuições é apenas o começo da física. Historicamente, todos os ramos bem-sucedidos da física acabaram se baseando na matemática rigorosa, que elimina intuições físicas incorretas, fortalece as corretas e possibilita o estudo rigoroso dos sistemas ideais, como o infinito fio condutor de corrente, que ilumina o comportamento do indivíduo. mundo real mais complicado e bagunçado. Ross-Littlewood é um problema físico,tipicamente interpretada como uma das mecânicas clássicas, e a mecânica clássica tem uma base matemática completamente madura e rigorosa. Devemos confiar na modelagem e análise matemática para nossas intuições sobre o mundo da física clássica, e não o contrário.

Vários pôsteres preocupam-se com o fato de os cálculos em Ross não serem rigorosos. Essa resposta aborda isso, provando a existência de um espaço de probabilidade em que todos os conjuntos de resultados considerados por Ross são realmente mensuráveis ​​e, em seguida, repete as partes vitais dos cálculos de Ross.

Encontrar um espaço de probabilidade adequado

Para concluir que Ross diz que não há bolas na urna às 12h, quase certamente, rigoroso, precisamos da existência de um espaço de probabilidade que o evento "sem bolas na urna às 12h PM "pode ​​ser construído formalmente e demonstrado ser mensurável. Para esse fim, usaremos o Teorema 33 [Ionescu - Tulcea] nessas notas de aula , ligeiramente reformuladas, e uma construção sugerida por @NateEldredge em um comentário à pergunta.$(\Omega, \mathcal F, P)$

Teorema. (Ionescu - Teorema da extensão de Tulcea) Considere uma sequência de espaços mensuráveis . Suponha que, para cada , exista uma probabilidade de kernel de a (considerando como um núcleo insensível ao seu primeiro argumento, isto é, uma medida de probabilidade). Existe uma sequência de variáveis ​​aleatórias recebem valores no correspondente , de modo que, para cada , a distribuição conjunta den κ n ( Ξ 1 , X 1 ) × ⋯ × ( Ξ n - 1 , X n - 1 ) ( Ξ n , X n ) κ 1 X n , n = 1 , 2 , ... Ξ n$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$k 1 , … , k $(X_1, \dots, X_n)$é o implícito nos kernels .$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

Deixamos que denotam a etiqueta da esfera removido no th retirada. Está claro que o processo (infinito) , se existir, nos diz tudo o que precisamos saber para imitar os argumentos de Ross. Por exemplo, conhecer para um número inteiro é o mesmo que saber o número de bolas na urna após a retirada : elas são precisamente as bolas adicionadas com rótulos , menos as bolas removidas . Mais geralmente, os eventos que descreve que, e quantas, bolas são na urna após qualquer retirada pode ser expressa em termos do processo de . n X = ( X 1 , X 2 , … ) X 1 , … , X m m ≥ 0 m { 1 , 2 , … , 10 m } { X 1 , … , X m } $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

Para estar em conformidade com o experimento de Ross, precisamos que, para cada , a distribuição de seja uniforme em . Também precisamos que a distribuição de seja uniforme em . Para provar que um processo infinito com essas distribuições de dimensão finita realmente existe, verificamos as condições do Teorema de Extensão Ionescu-Tulcea. Para qualquer número inteiro , deixe e defina os espaços mensuráveis , ondeX n | X n - 1 , ... , X 1 { 1 , 2 , ... , 10 n } ∖ X 1 , ... , X n - 1 X 1 { 1 , ... , 10 } X = ( X 1 , X 2 , … ) n I n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$( Ξ n , X n ) = ( I 10 n , 2 I 10 n ) 2 B B κ 1 ( Ξ 1 , X um ) uma / 10 Ξ 1 n ≥ dois ( x 1 , ... , x n - 1 ) ∈ Ξ 1 × $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$ indica a poder definir o conjunto de . Defina a medida em como aquela que coloca a massa em todos os elementos de . Para qualquer e defina para ser o kernel de probabilidade que coloca massa igual em todos os pontos em e massa zero em todos os outros pontos, ou seja, em os números inteiros$B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ n ( x 1 , ... , x n - 1 , ⋅ ) Ξ n ∖ { x 1 , ... , x n - 1 } x i ∈ Ξ n , i = 1 , ... , n - 1 X ( Ω , F , P $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$. Por construção, os núcleos de probabilidade concordam com a probabilidade de remoção uniforme especificada por Ross. Assim, o processo infinito e o espaço de probabilidade , cuja existência é dada pelo teorema, nos fornecem uma maneira de realizar formalmente o argumento de Ross.$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

Deixe denotar o conjunto de resultados de tal forma que a bola esteja na urna após a retirada . Em termos do nosso processo estocástico isto significa que, para todos os e tal que definimos , ou seja, bola não foi removido em qualquer um dos desenha até e incluindo o °. Para , podemos definir claramente pois a bola ainda não foi adicionada ao turn. Para cada e , o conjunto i n X i n i  10 n E I n = ∩ n j = 1 { ω : X j ( ω ) ≠ i } i n i > 10 n E I n = ∅ i j i { ω : X j ( ω ) ≠ i } X j E $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$ é mensurável, pois é uma variável aleatória (mensurável). Assim, é mensurável como a interseção finita de conjuntos mensuráveis.$X_j$$E_{in}$

Estamos interessados ​​no conjunto de resultados para que não haja bolas na urna às 12h. Ou seja, o conjunto de resultados que, para todo número inteiro , a bola não está na urna às 12h. Para cada , seja o conjunto de resultados ( ) de forma que a bola esteja na urna às 12h. Podemos construir formalmente usando nosso seguinte maneira. O fato de estar na urna às 12h é equivalente a estar na urna após cada retirada feita após ter sido adicionada à urna, entãoi i E i co ∈ ohms i E i E i n i E i = ∩ n : i  10 n E i n E i$i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$. O conjunto de resultados agora é mensurável como a interseção contável de conjuntos mensuráveis, para cada .$E_i$$i$

Os resultados para os quais há pelo menos uma bola na urna às 12h são aqueles para os quais pelo menos um dos acontece, ou seja, . O conjunto de resultados é mensurável como a união contável de conjuntos mensuráveis. Agora, é o evento em que não há bolas na urna às 12h, o que é realmente mensurável como complemento de um conjunto mensurável. Concluímos que todos os conjuntos de resultados desejados são mensuráveis ​​e podemos passar a calcular suas probabilidades, como Ross faz. E = ∪ ∞ i = 1 E i E ohms ∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

Calculando a probabilidade$P(\Omega \setminus E)$

Observamos pela primeira vez que a família de eventos é contável, temos por sub-aditabilidade contável de medidas que$E_i, i = 1, 2, \dots$

P ( E i ) = a i i P ( E ) = 0 ∑ N i = 1 a i = 0 N a i = 0

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ Para facilitar a notação, vamos denotar o número real para todos os . Claramente, para mostrar que é suficiente para mostrar que para todos os . Isso é equivalente a mostrar que para cada , o que faremos agora.$P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

Para esse fim, observe que, para todos os que a bola foi adicionada à urna, ou seja, , . Isso ocorre porque, se a bola está na urna na etapa , ela também está na urna na etapa . Em outras palavras, os conjuntos formam uma sequência decrescente para todos os tais que . Para facilitar a notação, deixe . Ross prova que como e afirma que isso também pode ser mostrado para todos os outrosi 10 n ≥ i E i n ⊇ E i ( n + 1 ) i n + 1 n E i n n 10 n ≥ i um i n = P ( E i n ) um 1 n → 0 n → ∞ i um i n = ∏ n k = i [ 9 $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$, o que considerarei verdadeiro. A prova consiste em mostrar que e para todos os , um cálculo elementar, mas demorado, não repetirei aqui. Armado com esse resultado, e o fato de que a família de eventos , é contável para cada i , a continuidade das medidas fornecelim n → ∞ um i n = 0 i E i n 10 n > $a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

Concluímos que e, portanto, conforme reivindicado. QED.P ( ohms ∖ E ) = $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

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Alguns mal-entendidos comuns:

1. Uma resposta está preocupada com o fato de que (na minha notação) . Isso, no entanto, não tem relação com a validade da solução, pois a quantidade do lado direito não é a de interesse pelo argumento fornecido.$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. Houve alguma preocupação de que o limite não possa ser movido dentro da soma ou, em outras palavras, não possa ser trocado com a soma no sentido de que pode ser o caso . Como a observação anterior, isso é irrelevante para a solução, porque a quantidade no lado direito não é a que interessa.$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

Por um lado, você pode tentar explicá-lo assim: "pense na probabilidade de qualquer bola estar na urna às 12h. Durante os infinitos sorteios aleatórios, ela será removida. Como isso vale para todas as bolas, nenhuma deles pode estar lá no final ".

Não acho esse argumento convincente. Se esse argumento funcionar, o seguinte argumento funcionará: Todo ano, algumas pessoas nascem (digamos uma fração constante da população total) e outras morrem (suponha uma fração constante). Então, como no limite qualquer pessoa em particular está quase certamente morta, então a raça humana deve ser extinta! Agora, a raça humana pode se extinguir por outros motivos, mas esse argumento é lixo.

Não faz sentido que esse problema tenha uma solução quando as bolas forem numeradas e uma resposta totalmente diferente quando as bolas forem anônimas. Por simetria, rótulos arbitrários não devem afetar a solução. Jaynes chamou esse argumento de princípio da indiferença , que eu aceito.

Em outras palavras, se alguém lhe disser que coloca dez bolas em uma urna e remove uma repetidamente, e quão cheia é a urna no limite, sua resposta seria "Depende se as bolas estão numeradas"? Claro que não. O conteúdo dessa urna diverge exatamente como a urna desse problema.

Portanto, acho que a solução está em como formalizamos o problema. A partir da definição usual de limite da teoria dos conjuntos , temos

lim sup n → ∞ S n = ⋂ n ≥ 1 ⋃ j ≥ n S

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

Seja o limite da cardinalidade do conjunto

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

e a cardinalidade do liminf do conjunto seja$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

Proponho que o limite da teoria dos conjuntos seja redefinido para que:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

Este "conjunto anônimo" especial descreve o que acontece no infinito. Assim como representa o comportamento limitador dos números, representa o comportamento limitador dos conjuntos. Ou seja, temos e . O benefício desse formalismo é que ele nos dá continuidade da cardinalidade e consistência com o princípio da indiferença . ∞ α i ∉ α k ∀ i | α k | = $\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

Para o problema da urna, temos é o conjunto de bolas na urna. E Assim, os elementos não "caem de um penhasco" no infinito, o que não faz mais sentido do que a humanidade se extinguir apenas porque nenhum homem é imortal.lim n → ∞ S n = α ∞$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

Da mesma forma, suponha que modifiquemos o problema para que a cada passo uma bola seja adicionada e a bola com o menor número seja removida. Então, quantas bolas estão na urna no limite? Conjuntos anônimos dão a resposta intuitiva:

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

Reconheço que os matemáticos podem discordar sobre as resoluções desse paradoxo, mas para mim essa é a resolução mais intuitiva.

O problema é mal formado ou não está na lógica de primeira ordem.

Causa raiz: a execução do "último" passo escreverá um número infinito de dígitos em uma bola, fazendo com que esse passo demore um tempo infinito para ser executado.

A capacidade de executar um processo infinito com uma etapa infinita implica a capacidade de resolver todos os problemas lógicos de primeira ordem ( Gödel é, portanto, falso) executando a seguinte sequência H (para o teorema X):

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

onde a etapa infinita está desencaixando a saída

O programa dentro da rotina assintótica é apenas uma pesquisa exaustiva de um teorema que prova (ou refuta) X. A conversão de P em S resulta em "aa", "ab", "ac", ... "a∨", ... onde todo símbolo que pode aparecer em um teorema é gerado. Isso resulta na geração de todos os teoremas de _{caracteres de} log de comprimento N, por sua vez. Como N cresce sem limite no loop externo, isso acabará gerando todos os teoremas.

O lado que é falso nunca terminará, mas não precisamos nos preocupar com isso, porque temos permissão para executar etapas infinitas. De fato, dependemos de poder fazer isso para detectar a independência, pois os dois lados nunca terminam. Exceto por uma coisa. Permitimos que um número infinito de etapas fosse executado em um tempo finito por aumento assintótico da velocidade de execução. Esta é a parte surpreendente. A rotina asymptotic_cortine que nunca termina e nunca gera saída "terminou" * após o tempo assintótico e ainda nunca gerou nenhuma saída.

* Se colocarmos uma SAÍDA após o FOR N = 1 ... ∞, não seria alcançada, mas não faremos isso.

A forma forte do Teorema da Incompletude de Gödel pode ser declarada "Para todo sistema lógico de primeira ordem F existe uma afirmação G _F que é verdadeira em F, mas que não pode ser provada verdadeira em F." Mas o método de prova H não pode deixar de provar todas as afirmações que devem ser verdadeiras em F (H).

Dilema: ¬Gödel ¬ ¬ (etapas infinitas são permitidas)
Portanto:
Dilema: ¬Gödel ¬ ¬ (315502 é bem formado na lógica de primeira ordem)

Seja x o número de bolas que foram removidas e y seja o número de bolas restantes. Após cada ciclo y = 9x. Como x> 0, y> 0. Haverá infinitas bolas na urna às 12h.

A razão pela qual soluções baseadas em probabilidades levam a dificuldades é que as probabilidades de séries infinitas são complicadas. ET Jaynes escreveu sobre alguns paradoxos aparentes diferentes de probabilidade, como este, em seu livro Probability Theory: The Logic of Science . Não tenho minha cópia em mãos, mas a primeira parte do livro está disponível online em Larry Bretthorst aqui . A citação a seguir é do prefácio.

No entanto, quando tudo é dito e feito, encontramos, para nossa própria surpresa, que pouco mais que um acordo filosófico frouxo permanece; Em muitas questões técnicas, discordamos totalmente de De Finetti. Parece-nos que sua maneira de tratar conjuntos infinitos abriu uma caixa de Pandora de paradoxos inúteis e desnecessários; não -onglomerabilidade e aditividade finita são exemplos discutidos no capítulo 15.

O paradoxo de conjuntos infinitos tornou-se uma infecção mórbida que hoje está se espalhando de uma maneira que ameaça a própria vida da teoria das probabilidades e requer remoção cirúrgica imediata. Em nosso sistema, após esta cirurgia, esses paradoxos são evitados automaticamente; elas não podem surgir da aplicação correta de nossas regras básicas, porque essas regras admitem apenas conjuntos finitos e conjuntos infinitos que surgem como limites bem definidos e bem comportados de conjuntos finitos. O paradoxo foi causado por (1) pular diretamente para um conjunto infinito sem especificar nenhum processo limitador para definir suas propriedades; e então (2) fazendo perguntas cujas respostas dependem de como o limite foi abordado.

Por exemplo, a pergunta: "Qual é a probabilidade de um número inteiro ser par?" Pode ter qualquer resposta que deseje (0, 1), dependendo de qual processo limitador é definir o "conjunto de todos os números inteiros" (como um pode ser feita uma série condicionalmente convergente para convergir para qualquer número que desejarmos, dependendo da ordem em que organizamos os termos).

Em nossa opinião, não se pode dizer que um conjunto infinito possua qualquer "existência" e propriedades matemáticas - pelo menos na teoria das probabilidades - até que tenhamos especificado o processo limitador que deve gerá-lo a partir de um conjunto finito. Em outras palavras, navegamos sob a bandeira de Gauss, Kronecker e Poincar ́e, em vez de Cantor, Hilbert e Bourbaki. Esperamos que os leitores que estão chocados com isso estudem a acusação de Bourbakism pelo matemático Morris Kline (1980) e depois nos acompanhem por tempo suficiente para ver as vantagens de nossa abordagem. Exemplos aparecem em quase todos os capítulos.

O uso de limites na resposta de @enumaris (+1) fornece uma maneira de contornar a astúcia dos infinitos em probabilidade.

Qual é a melhor explicação que podemos dar a eles para resolver essas intuições conflitantes?

Aqui está a melhor resposta e tem muito pouco a ver com probabilidades. Todas as bolas têm números, vamos chamá-los de números de nascimento. Os números de nascimento começam em B1, B2, B3 ... e vão para o infinito, porque realmente nunca paramos. Chegamos mais perto das 12:00, mas continuamos adicionando e removendo bolas, é por isso que não existe o número final de uma bola. Esta é uma consideração muito importante, aliás.

Colocamos as bolas em uma caixa em 10 lotes de bolas, como o lote 7: B71, B72, ..., B80. Vamos esquecer isso por um minuto e focar nas bolas que são removidas da caixa. Eles vêm em uma ordem aleatória . Explicarei por que a aleatoriedade é importante mais tarde, mas por enquanto tudo o que isso significa é que qualquer bola com um número brith de B1 a B10k que ainda esteja na caixa na etapa K pode ser retirada. Vamos indexar as bolas que removemos pela ordem em que foram removidas, vamos chamá-las de números de morte: D1, D2, D3 ... DK.

Às 00:00, colocamos um número infinito de bolas em uma caixa e certamente nunca ficamos sem bolas para removê-las. Por quê? Como colocamos 10 bolas pela primeira vez, APENAS remova uma. Portanto, sempre há uma bola para remover. Isso significa que também removemos um número infinito de bolas às 00:00.

Isso também significa que cada bola removida foi indexada de 1 ao infinito, ou seja, poderíamos emparelhar cada bola removida com uma bola colocada na caixa: B1 a D1, B2 a D2, etc. Isso significa que removemos tantas bolas quanto nós inserimos, porque cada número de nascimento foi emparelhado com cada número de morte.

Agora essa era a solução. Por que isso derrota nossa intuição? É elementar, Dr. Watson. O motivo é que certamente sabemos que, para todos os K, isso vale: É por isso que, depois de K dar um passo, não podemos remover todas as bolas da caixa, porque colocamos 10K bolas e removemos apenas K delas. Direito?

$$K<10K$$

Há um pequeno problema. O problema é que, quando , isso não é mais verdade: É por isso que a intuição se desintegra.$K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

Agora, se as bolas não foram removidas aleatoriamente. Duas coisas podem acontecer como na resposta canônica de @ amoeba. Primeiro, digamos que estávamos colocando 10 bolas e removendo imediatamente a última. É como se estivéssemos colocando apenas nove bolas. Isso corresponderá à nossa intuição e, às 00:00, haverá um número infinito de bolas. Por quê? Como não removíamos as bolas aleatoriamente, o algoritmo em que os números de nascimento eram emparelhados com os números de óbito como no momento da remoção . Então, emparelhamos cada bola removida com uma das bolas que colocamos: , isso significa que muitas bolas nunca foram emparelhadas com B1, B2 ,. .., B9, B11, ... etc.$B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

A segunda coisa que pode acontecer com a remoção não aleatória da bola também está relacionada ao pareamento na remoção: correlacionamos BK = DK. Podemos fazer isso removendo uma bola com BK em cada etapa K, o que garante que BK esteja emparelhado com DK. Desta forma, cada bola removida é emparelhada com cada bola que colocamos, ou seja, o mesmo resultado final, como no sorteio aleatório de bolas removidas. Obviamente, isso significa que não há mais bolas na caixa depois das 00:00.

Acabei de mostrar que o problema tem muito pouco a ver com probabilidades em si. Tem tudo a ver com poderes de conjuntos infinitos contáveis ​​(?). O único problema real que evitei discutir é se os conjuntos são realmente contáveis. Quando você se aproxima das 12:00, sua taxa de inserções de esferas está aumentando rapidamente, para dizer o mínimo. Portanto, não é tão trivial planejar se o número de bolas que colocamos na caixa é realmente contável.

Desenrolar

Agora, vou desvendar essa solução canônica do paradoxo e voltar à nossa intuição.

Como é possível colocar 10 bolas, remover uma e ainda ficar sem todas as bolas às 12 horas? Aqui está o que realmente está acontecendo. 12 horas são inacessíveis .

Vamos reformular o problema. Não reduzimos pela metade os intervalos de tempo. Colocamos e removemos bolas a cada minuto. Não é exatamente o mesmo que no problema original? Sim e não.

Sim, porque em nenhum lugar da minha exposição acima me referi explicitamente ao tempo, mas no final. Eu estava contando os passos k. Então, podemos continuar contando os passos e bolas mortas por k.

Não, porque agora nunca vamos parar . Continuaremos adicionando e removendo bolas até o fim dos tempos, o que nunca chega. Enquanto no problema original, o fim é às 12 horas.

Isso explica como nossa intuição falha. Apesar de colocarmos as bolas com uma taxa de remoção 9x, porque o tempo nunca acaba, todas as bolas que colocarmos serão removidas eventualmente! Pode levar um número infinito de minutos, mas tudo bem, porque temos um número infinito de minutos restantes. Essa é a verdadeira solução do problema.

Nesta formulação, você perguntaria "quantas bolas existem na caixa depois que o infinito acaba?" Não! Porque é uma pergunta sem sentido. É por isso que a pergunta original também não faz sentido. Ou você pode chamá-lo de mal posicionado.

Agora, se você voltar ao problema original, o fim dos tempos aparentemente acontecerá. É aos 12 anos. O fato de termos parado de colocar bolas significa que o tempo acabou e chegamos além do final. Portanto, a verdadeira resposta para a pergunta é que nunca devem ocorrer 12 horas. É inacessível.

Vale a pena ler a resposta da ameba, que é simplesmente excelente e esclarece muito o problema. Não discordo exatamente da resposta dele, mas quero ressaltar que a solução do problema se baseia em uma determinada convenção. O interessante é que esse tipo de problema mostra que essa convenção, embora frequentemente usada, é questionável.

Assim como ele diz, há um ponto técnico em provar que, para cada bola, a probabilidade de permanecer na urna para sempre é 0. Além desse ponto, o problema não é sobre probabilidades. Um equivalente determinístico pode ser dado. É muito mais fácil entender. A idéia principal é: como toda bola está ausente da urna em algum momento, a urna no final está vazia. Se você representa a presença na urna de cada bola por uma sequência de zeros e uns, cada sequência é 0 de um determinado intervalo, portanto, seu limite é 0.

Agora o problema pode ser simplificado ainda mais. Eu chamo os momentos 1, 2, 3 .... por simplicidade:

• momento 1: coloca a bola 1 na urna
• momento 2: remova-o
• momento 3: colocar a bola 2 na urna
• momento 4: remova-o
• momento 5: colocar a bola 3 na urna
• ...

Que bolas no final (meio dia)? Com a mesma idéia, a mesma resposta: nenhuma.

Mas, fundamentalmente, não há como saber, porque o problema não diz o que acontece ao meio-dia. Na verdade, é possível que, no final dos tempos, Pikachu entre de repente na urna. Ou talvez todas as bolas de repente colapsem e se fundam em uma grande bola. Não significa que isso seja realista, apenas não é especificado.

O problema só pode ser respondido se uma determinada convenção nos indicar como chegar ao limite: uma suposição de continuidade. O estado da urna ao meio-dia é o limite de seus estados anteriores. Onde devemos procurar uma suposição de continuidade que nos ajude a responder à pergunta?

Nas leis da física? As leis físicas garantem uma certa continuidade. Penso em um modelo clássico simplista, sem recorrer à física moderna real. Mas, fundamentalmente, as leis físicas trariam exatamente as mesmas questões que as matemáticas: a maneira como escolhemos descrever a continuidade das leis físicas depende de fazer a pergunta matematicamente: o que é contínuo, como?

Temos que procurar uma suposição de continuidade de uma maneira mais abstrata. A idéia usual é definir o estado da urna como uma função do conjunto de bolas em . 0 significa ausente, 1 significa presente. E para definir a continuidade, usamos a topologia do produto, também conhecida como convergência ponto a ponto. Dizemos que o estado ao meio-dia é o limite dos estados antes do meio-dia, de acordo com esta topologia. Com essa topologia, há um limite e é 0: uma urna vazia.$\{0;1\}$

Mas agora modificamos um pouco o problema para desafiar essa topologia:

• momento 1: coloca a bola 1 na urna
• momento 2: remova-o
• momento 3: colocar a bola 1 na urna
• momento 4: remova-o
• momento 5: colocar a bola 1 na urna
• ...

Para a mesma topologia, a sequência de estados não tem limite. É aí que começo a ver o paradoxo como um verdadeiro paradoxo. Para mim, esse problema modificado é essencialmente o mesmo. Imagine que você é a urna. Você vê bolas indo e vindo. Se você não consegue ler o número, se é a mesma bola ou outra não muda o que está acontecendo com você. Em vez de ver as bolas como elementos individuais distintos, você as vê como uma quantidade de matéria entrando e saindo. A continuidade poderia naturalmente ser definida observando variações da quantidade de matéria. E de fato não há limite. De certa forma, esse problema é o mesmo que o problema original, onde você decide ignorar a identidade da bola, levando a uma métrica diferente e a uma noção diferente de convergência. E mesmo se você pudesse ver o número nas bolas,

Em um caso, o limite da sequência de seus estados é "vazio"; no outro, o limite é indefinido.

A formalização do problema com a topologia do produto baseia-se fundamentalmente na separação do que acontece com cada bola diferente, criando assim uma métrica que reflete a "capacidade de distinguir". Somente por causa dessa separação, um limite pode ser definido. O fato de essa separação ser tão fundamental para a resposta, mas não fundamental para descrever "o que está acontecendo" na urna (um ponto infinitamente discutível), me faz pensar que a solução é a consequência de uma convenção e não uma verdade fundamental.

Para mim, o problema, quando considerado puramente abstrato, tem uma solução, desde que as informações ausentes sejam fornecidas: que o estado ao meio-dia seja o limite dos estados anteriores e limite em que sentido. No entanto, ao pensar nesse problema intuitivamente, o limite da sequência de estados não é algo que você possa pensar de uma única maneira. Fundamentalmente, acho que não há como responder.

Eu quero fazer uma reformulação o mais fácil possível para tornar a resposta de 0 mais intuitiva, começando pelo exemplo simplificado de que as bolas não são removidas aleatoriamente, mas a bola é removida na ésima etapa.$n$$n$

Considere o seguinte: coloquei todas as bolas na urna no início. Na etapa 1, tiro a bola 1. Na etapa 2, tiro a bola 2 e assim por diante. Alguma dúvida de que a urna ficará vazia após etapas infinitas?

OK. Mas se eu não coloco todas as bolas na urna a princípio, mas apenas algumas, como a urna pode ficar mais cheia no final?

O objetivo deste post é argumentar, para a última opção do PO, que precisamos de uma melhor formulação. Ou pelo menos, a prova de Ross não é tão clara quanto pode parecer à primeira vista e, certamente, a prova não é tão intuitiva que está em uma boa posição para estar em um curso de introdução à teoria da probabilidade. Exige muita explicação, tanto na compreensão dos aspectos paradoxais, quanto uma vez que tenha sido esclarecida nos pontos em que a prova de Ross passa muito rapidamente, dificultando a visualização de quais axiomas, teoremas e interpretações implícitas das quais a prova depende.

Relacionado a esse aspecto, é muito divertido ler as palavras finais de Teun Koetsier em "Didactiek met oneindig veel pingpongballen?"

Todos nós já ouvimos e dizemos "Paradoxa uma janela para confusão".

Traduzido "Se não tivermos cuidado, torna-se 'paradoxos uma janela para confusão'"

Abaixo está uma descrição dos argumentos "regulares" que podem passar nas discussões sobre supertarefas e, mais especificamente, o paradoxo determinístico de Ross-Littlewood. Depois disso, quando deixamos de lado toda essa discussão, é dada uma visão do caso especial do paradoxo probabilístico de Ross-Littlewood como fornecendo elementos adicionais , que, no entanto, se perdem e confundem no cenário mais amplo com supertarefas.

Três casos determinísticos e discussão sobre supertarefas

O paradoxo de Ross-Littlewood conhece muitos resultados diferentes, dependendo da maneira como as bolas são deslocadas da urna. Para investigar isso, vamos começar usando a descrição exata do problema, como Littlewood descreve como o quinto problema em seu manuscrito de 1953

Versão 1 O conjunto de bolas restantes na urna está vazio

O paradoxo de Ross-Littlewood, ou paradoxo de Littlewood-Ross, apareceu pela primeira vez como o quinto problema no manuscrito de Littlewood, em 1953, "a miscelânea de um matemático"

Um paradoxo do infinito. Bolas numeradas 1, 2, ... (ou, para um matemático, os próprios números) são colocadas em uma caixa da seguinte maneira. De 1 minuto até meio-dia, os números 1 a 10 são inseridos e o número 1 é retirado. Ao meio minuto e meio-dia, os números 11 a 20 são inseridos e o número 2 é retirado e assim por diante. Quantos estão na caixa ao meio-dia?

Littlewood é pouco sobre esse problema, mas fornece uma boa representação como o conjunto de pontos:

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

para o qual é fácil perceber que é 'nulo'.

Versão 2 O conjunto de bolas restantes na urna tem tamanho infinito

Ross (1976) acrescenta mais duas versões a esse paradoxo. Primeiro, olhamos para a primeira adição:

Suponha que possuamos uma urna infinitamente grande e uma coleção infinita de bolas rotuladas como número 1, número 2, número 3 e assim por diante. Considere um experimento realizado da seguinte maneira: de 1 a 12 horas, as bolas numeradas de 1 a 10 são colocadas na urna e a bola número 10 é retirada. (Suponha que a retirada não demore.) Das 12 às 12 horas, bolas numeradas de 11 a 20 são colocadas na urna e a bola número 20 é retirada. Às 14 minutos para as 12 horas, as bolas numeradas de 21 a 30 são colocadas na urna e a bola número 30 é retirada. Às 18 minutos para as 12 horas e assim por diante. A questão de interesse é: quantas bolas existem na urna às 12h?

Obviamente, a resposta é infinita, pois esse procedimento deixa todas as bolas com números na urna, que são infinitamente numerosas.$x \mod 10 \neq 0$

Antes de avançarmos para a segunda adição de Ross, que incluía probabilidades, passamos para outro caso.

Versão 3 O conjunto de bolas restantes na urna é um conjunto finito de tamanho arbitrário

A urna pode ter qualquer número de bolas às 12 horas, dependendo do procedimento de deslocamento das bolas. Essa variação foi descrita por Tymoczko e Henle (1995) como o problema da bola de tênis.

Tom está em uma caixa grande, vazia, exceto ele próprio. Jim está do lado de fora da caixa com um número infinito de bolas de tênis (numeradas 1, 2, 3, ....). Jim joga as bolas 1 e 2 na caixa. Tom pega uma bola de tênis e a joga fora. Em seguida, Jim joga as bolas 3 e 4. Tom pega uma bola e a joga fora. Em seguida, Jim joga as bolas 5 e 6. Tom pega uma bola e a joga fora. Esse processo continua um número infinito de vezes até que Jim jogue todas as bolas. Mais uma vez, solicitamos que você aceite realizar um número infinito de tarefas em um período finito de tempo. Aqui está a pergunta: quantas bolas há na caixa com Tom quando a ação termina?

A resposta é um tanto perturbadora: depende. Não foram fornecidas informações suficientes para responder à pergunta. Pode haver um número infinito de bolas restantes ou pode não haver nenhuma.

No exemplo de livro didático, eles defendem os dois casos, infinitos ou finitos (Tymoczko e Henle, deixam o caso intermediário como um exercício); no entanto, o problema é levado adiante em vários artigos de periódicos nos quais o problema é generalizado para que possamos obter qualquer número, dependendo do procedimento seguido.

Especialmente interessantes são os artigos sobre os aspectos combinatórios do problema (onde o foco, no entanto, não é sobre os aspectos no infinito). Por exemplo, contando o número de conjuntos possíveis que podemos ter a qualquer momento. No caso de adicionar 2 bolas e remover 1 a cada etapa, os resultados são simples e o número de conjuntos possíveis na n-ésima etapa é o n + 1-ésimo número catalão. Por exemplo, 2 possibilidades {1}, {2} no primeiro passo, 5 possibilidades {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} e {3,4} no segundo passo, 14 no o terceiro, 42 no quarto, etc. (ver Merlin, Sprugnoli e Verri 2002, O problema da bola de tênis ). Esse resultado foi generalizado para diferentes números de adição e subtração de bolas, mas isso foi longe demais para este post agora.

Argumentos baseados no conceito de supertarefas

Antes de chegar à teoria da probabilidade, muitos argumentos já podem ser apresentados contra os casos determinísticos e a possibilidade de concluir a supertarefa. Além disso, pode-se questionar se o tratamento teórico do conjunto é uma representação válida da representação cinemática da supertarefa. Não quero discutir se esses argumentos são bons ou ruins. Menciono-os para destacar que o caso probabilístico pode ser contrastado com esses argumentos de 'supertarefa' e pode ser visto como contendo elementos adicionais que nada têm a ver com supertarefas. O caso probabilístico possui um elemento único e separado (o raciocínio com a teoria da probabilidade) que não é provado ou refutado ao argumentar contra ou no caso de supertarefas.

• Argumentos de continuidade : Esses argumentos geralmente são mais conceituais. Por exemplo, a idéia de que a supertarefa não pode ser finalizada, como Aksakal e Joshua argumentam em suas respostas, e uma demonstração clara dessas noções é a lâmpada de Thomson , que no caso do paradoxo de Ross Littlewood seria como perguntar, foi a última removida número ímpar ou par?

• Argumentos físicos: Existem também argumentos que desafiam a construção matemática como sendo relevantes para a realização física do problema. Podemos ter um tratamento matemático rigoroso de um problema, mas permanece uma questão de saber se isso realmente está relacionado à execução mecanicista da tarefa (além das noções simplistas, como quebrar certas barreiras do mundo físico como limites de velocidade ou requisitos de energia / espaço) .

  • Um argumento pode ser que o limite da teoria dos conjuntos seja um conceito matemático que não descreva necessariamente a realidade física

    Por exemplo, considere o seguinte problema diferente: A urna tem uma bola dentro da qual não nos movemos. A cada passo, apagamos o número previamente escrito na bola e reescrevemos um número novo e mais baixo. A urna ficará vazia após infinitas etapas? Nesse caso, parece um pouco mais absurdo usar o limite teórico do conjunto, que é o conjunto vazio. Esse limite é bom como raciocínio matemático, mas representa a natureza física do problema? Se permitirmos que as bolas desapareçam das urnas por causa de um raciocínio matemático abstrato (que talvez deva ser considerado mais um problema diferente ), da mesma forma que podemos fazer com que a urna inteira desapareça?

  • Além disso, a diferenciação das bolas e atribuir a elas uma ordem parece "não-física" (é relevante para o tratamento matemático de conjuntos, mas as bolas na urna se comportam como esses conjuntos?). Se reorganizarmos as bolas em cada etapa (por exemplo, cada etapa alterna aleatoriamente uma bola da pilha descartada com uma bola da pilha restante de infinitas bolas), esquecendo a numeração com base no momento em que entram na urna ou no número recebido desde o início, os argumentos baseados nos limites da teoria dos conjuntos não fazem mais sentido, porque os conjuntos não convergem (não há solução estável depois que uma bola é descartada da urna, ela pode retornar novamente).

    Da perspectiva de realizar as tarefas físicas de encher e esvaziar a urna, parece que não importa se temos ou não números nas bolas. Isso torna o raciocínio teórico dos conjuntos mais parecido com um pensamento matemático sobre conjuntos infinitos do que com o processo real.

De qualquer forma, se insistimos no uso desses infinitos paradoxos para fins didáticos, e, portanto, antes de chegarmos à teoria da probabilidade, precisamos primeiro lutar por ter uma idéia aceitável de (certas) supertarefas aceitas pelos mais céticos / teimosos pensadores, então pode ser interessante usar a correspondência entre o paradoxo de Zenão e o paradoxo de Ross-Littlewood descrito por Allis e Koetsier (1995) e brevemente descrito abaixo.

Em sua analogia, Aquiles está tentando pegar a tartaruga enquanto cruzam bandeiras que são colocadas dessa maneira, com a distância modo que a distância de Aquiles com bandeiras é o dobro da distância da tartaruga com bandeiras , ou seja, . Depois até às 12h. a diferença nas bandeiras que a tartaruga e Aquiles terão passado está crescendo . Mas, eventualmente , às 12 horas, ninguém, exceto os eleatics, argumentaria que Aquiles e a tartaruga atingiram o mesmo ponto e (portanto) têm zero bandeiras entre eles.

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

O caso probabilístico e como ele adiciona novos aspectos ao problema.

A segunda versão adicionada por Ross (em seu livro) remove as bolas com base na seleção aleatória

Suponhamos agora que, sempre que uma bola é retirada, ela é selecionada aleatoriamente dentre os presentes. Ou seja, suponha que entre 1 minuto e 12 da noite as bolas numeradas de 1 a 10 sejam colocadas na urna e uma bola seja selecionada e retirada aleatoriamente, e assim por diante. Nesse caso, quantas bolas existem na urna às 12h?

A solução de Ross é que a probabilidade é 1 para a urna estar vazia. No entanto, embora a argumentação de Ross pareça sólida e rigorosa, pode-se pensar que tipo de axiomas são necessários para isso e quais dos teoremas usados ​​podem ser colocados sob estresse por suposições implícitas que podem não ser fundamentadas nesses axiomas (por exemplo, o pressuposto de que os eventos ao meio-dia podem receber probabilidades).

O cálculo de Ross é, em suma, uma combinação de dois elementos que dividem o evento de uma urna não vazia em muitos subconjuntos / eventos e prova que para cada um desses eventos a probabilidade é zero:

1. Para , no evento em que a bola número estiver na urna às 12h, temos$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. Pois, , a probabilidade de a urna não estar vazia às 12 horas$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

O caso probabilístico do paradoxo de Ross-Littlewood, sem raciocinar sobre supertarefas

Na forma mais nua do paradoxo, eliminando-o de qualquer problema com o desempenho de supertarefas, podemos nos perguntar sobre o problema "mais simples" de subtrair conjuntos infinitos. Por exemplo, nas três versões, obtemos:

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

e o problema se reduz a uma subtração definida como .$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

Qualquer sequência infinita, , é uma sequência (igualmente) possível que descreve a ordem em que as bolas podem ser removidas em uma realização probabilística do Ross Problema -Littlewood. Vamos chamar essas sequências infinitas de sequências RL.$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

Agora, a questão mais geral, sem o raciocínio paradoxal sobre as supertarefas, é sobre a densidade das sequências RL que não contêm todo o conjunto$\mathbb{N}$

Uma visão gráfica do problema.

aninhado, estrutura

Antes da versão editada desta resposta, eu havia apresentado um argumento que usava a existência de um mapa injetivo das 'sequências infinitas que esvaziam a urna' para 'as sequências infinitas que não contêm o número 1'.

Esse não é um argumento válido. Compare, por exemplo, com a densidade do conjunto de quadrados. Há um número infinito quadrados (e há a bijective relação e ), no entanto, o conjunto de quadrados tem densidade zero no .$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

A imagem abaixo cria uma visão melhor de como, a cada etapa extra, a probabilidade da bola 1 na urna está diminuindo (e podemos argumentar o mesmo para todas as outras bolas). Mesmo que a cardinalidade do subconjunto de todas as sequências RL (as sequências de bolas deslocadas) seja igual à cardinalidade de todas as seqüências RL (a imagem exibe uma espécie de estrutura fractal e a árvore contém infinitas cópias de doze).

crescimento do espaço da amostra, número de caminhos

A imagem mostra todas as realizações possíveis para as cinco primeiras etapas, com o esquema do problema da bola de tênis (o problema da bola de tênis, cada etapa: adicione 2 remova 1, cresce menos rápido e é mais fácil de exibir). As linhas turquesa e roxa exibem todos os caminhos possíveis que podem se desenrolar (imagine a cada passo que jogamos um dado de tamanho e, com base no resultado, selecionamos um dos caminhos ou, em outras palavras, com base nos resultados removemos uma das bolas na urna).$n$$n+1$$n+1$$n+1$

O número de possíveis composições de urna (as caixas) aumenta com o n + 1-ésimo número catalão , e o número total de caminhos aumenta com o fatorial. Para o caso das composições de urna com a bola número 1 no interior (cor cinza escuro) e os caminhos que levam a essas caixas (roxo), os números se desdobram exatamente da mesma maneira, porém desta vez é o n-ésimo número catalão e o fatorial.$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

densidade de caminhos que deixam a bola dentro$n$

Portanto, para os caminhos que levam a uma urna com a bola número 1 dentro, a densidade é E diminui à medida que se torna maior. Embora existam muitas realizações que levam a encontrar o número da bola na caixa, a probabilidade se aproxima de zero (eu diria que isso não torna impossível, mas quase certamente não está acontecendo, e o principal truque no argumento de Ross é que o a união de muitos eventos nulos contáveis ​​também é um evento nulo).$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

Exemplos de caminhos para os cinco primeiros passos no problema da bola de tênis (cada passo: adicione 2 remova 1)

Os argumentos de Ross para uma urna certamente vazia.

Ross define os eventos (subconjuntos do espaço de amostra), , em que uma bola numerada está na urna na etapa . (em seu livro ele na verdade deixa de lado o índice defende a bola 1).$E_{in}$$i$$n$$i$

Prova 1)

Ross usa sua proposição 6.1. para aumentar ou diminuir seqüências de eventos (por exemplo, diminuir é equivalente a ).$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

Proposição 6.1: Se for uma sequência crescente ou decrescente de eventos, então$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

Usando essa proposição, Ross afirma que a probabilidade de observar a bola às 12h (que é o evento ) é igual a$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

Allis e Koetsier argumentam que essa é uma dessas suposições implícitas. A supertarefa por si só não implica (logicamente) o que acontece às 12 horas e as soluções para o problema precisam fazer suposições implícitas, que é neste caso que podemos usar o princípio da continuidade no conjunto de bolas dentro da urna para indicar o que acontece no infinito. Se um (set-teórica) limite ao infinito é um valor particular, em seguida, no infinito que vai ter esse valor particular (não pode haver salto repentino).

Uma variante interessante do paradoxo de Ross-Littlewood é quando também devolvemos aleatoriamente bolas que haviam sido descartadas antes. Nisso não haverá convergência (como a lâmpada de Thomson) e não podemos definir com facilidade o limite das seqüências (que não está mais diminuindo).$E_{in}$

Prova 2)

O limite é calculado. Este é um passo algébrico simples.

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

Etapa 3 da prova)

Argumenta-se que as etapas 1 e 2 funcionam para todos os por uma simples declaração$i$

"Da mesma forma, podemos mostrar que para todos os "$P(F_i)=0$$i$

onde é o evento em que a bola foi retirada da urna quando chegamos às 12h$F_i$$i$

Embora isso possa ser verdade, podemos nos perguntar sobre a expressão do produto cujo índice mais baixo agora chega ao infinito:

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

Não tenho muito a dizer sobre isso, exceto que espero que alguém possa me explicar se funciona.

Também seria bom obter melhores exemplos intuitivos sobre a noção de que as seqüências decrescentes , que são necessárias para a proposição 6.1, não podem todas comece com o índice do número da etapa, , sendo igual a 1. Esse índice deve aumentar para o infinito (que não é apenas o número de etapas que se torna infinito, mas também a seleção aleatória da bola a ser descartada se torna infinita e a número de bolas para as quais observamos o limite se torna infinito). Embora esse tecnicismo possa ser resolvido (e talvez já tenha sido feito nas outras respostas, implícita ou explicitamente), uma explicação completa e intuitiva pode ser muito útil.$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

Nesta etapa 3, torna-se bastante técnico, enquanto Ross é muito breve. Ross pressupõe a existência de um espaço de probabilidade (ou pelo menos não é explícito) no qual podemos aplicar essas operações no infinito, da mesma maneira que podemos aplicar as operações em subespaços finitos.

A resposta de ekvall fornece uma construção, usando o teorema da extensão devido a Ionescu-Tulcea , resultando em um espaço infinito de produtos em que podemos expressar os eventos pelo produto infinito dos núcleos de probabilidade, resultando em .$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

No entanto, não é explicitado em um sentido intuitivo. Como podemos mostrar intuitivamente que o espaço de eventos funciona? Que seu complemento é o conjunto nulo (e não um número 1 com infinitos zeros, como é a solução na versão ajustada do problema de Ross-Littlewood de Allis e Koetsier) e que é um espaço de probabilidade?$E_{i}$

Prova 4)

A desigualdade de Boole é usada para finalizar a prova.

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

A desigualdade é comprovada para conjuntos de eventos finitos ou infinitos contáveis. Isso é verdade para o .$F_i$

Essa prova de Ross não é uma prova em um sentido constutivista. Em vez de provar que a probabilidade é quase 1 para a urna ficar vazia às 12 horas, está provando que a probabilidade é quase 0 para que a urna seja preenchida com qualquer bola com um número finito.

Lembrança

O paradoxo determinístico de Ross-Littlewood contém explicitamente o conjunto vazio (foi assim que este post começou). Isso torna menos surpreendente que a versão probabilística termine com o conjunto vazio, e o resultado (seja verdadeiro ou não) não seja tão mais paradoxal quanto as versões RL não probabilísticas. Um experimento interessante é a seguinte versão do problema de RL:

• Imagine começar com uma urna cheia de infinitas bolas e começar a descartá-las aleatoriamente. Essa supertarefa, se terminar, deve esvaziar logicamente a urna. Desde que, se não estivesse vazio, poderíamos ter continuado. (Esse experimento mental, no entanto, amplia a noção de uma supertarefa e tem um final vagamente definido. É quando a urna está vazia ou quando chegamos às 12h?)

Há algo de insatisfatório na técnica da prova de Ross, ou pelo menos uma melhor intuição e explicação com outros exemplos podem ser necessárias para que se possa apreciar completamente a beleza da prova. Os quatro passos juntos formam um mecanismo que pode ser generalizado e possivelmente aplicado para gerar muitos outros paradoxos (embora eu tenha tentado, não obtive sucesso).

Podemos ser capazes de gerar um teorema tal que, para qualquer outro espaço de amostra adequado que aumente de tamanho até o infinito (o espaço de amostra do problema de RL possui ). Se pudermos definir um conjunto contável de eventos que são uma sequência decrescente com um limite 0 à medida que a etapa aumenta, a probabilidade do evento que é a união desses eventos será zero quando nos aproximamos do infinito. Se pudermos fazer com que a união dos eventos seja o espaço inteiro (no exemplo da RL, o vaso vazio não foi incluído na união cuja probabilidade chega a zero, portanto não ocorreu um paradoxo grave), podemos criar um paradoxo mais grave que desafia a consistência dos axiomas em combinação com dedução transfinita.$card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• Um exemplo (ou uma tentativa de criar) é a divisão infinita de um pão em pedaços menores (para cumprir as condições matemáticas, digamos que apenas fazemos as divisões em pedaços com o tamanho de um número racional positivo). Para este exemplo, podemos definir eventos (na etapa x, temos um pedaço de tamanho x), que são sequências decrescentes e o limite da probabilidade dos eventos é zero (da mesma forma que o paradoxo da RL, as sequências decrescentes ocorrem apenas mais e mais adiante, e há convergência pontual, mas não uniforme,).

  Teríamos que concluir que, quando terminamos essa supertarefa, o pão desapareceu . Podemos ir em direções diferentes aqui. 1) Poderíamos dizer que a solução é o conjunto vazio (embora essa solução seja muito menos agradável do que no paradoxo da RL, porque o conjunto vazio não faz parte do espaço da amostra) 2) Poderíamos dizer que existem infinitamente muitas peças indefinidas ( por exemplo, o tamanho de infinitamente pequeno) 3) ou talvez tenhamos que concluir (depois de executar a prova de Ross e encontrar vazia) que essa não é uma supertarefa que pode ser concluída? Que a noção de terminar uma supertarefa pode ser feita, mas não necessariamente "existe" (uma espécie de paradoxo de Russell).

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Uma citação de Besicovitch impressa na miscelânea de Littlewood:

"a reputação de um matemático repousa no número de más provas que ele forneceu".

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Allis, V., Koetsier, T. (1995), Em alguns paradoxos do infinito II , The British Journal for the Philosophy of Science , pp. 235-247

Koetsier, T. (2012), Didactiek with oneindig veel pingpongballen, Nieuw Archief voor Wiskunde , 5/13 nr4, pp. 258-261 ( original em holandês , a tradução é possível via google e outros métodos)

Littlewood, JE (1953), Miscelânea de um matemático , pp. 5 ( link gratuito via archive.org )

Merlin, D., Sprugnoli, R. e Verri MC (2002), O problema da bola de tênis , Journal of Combinatorial Theory , pp. 307-344

Ross, SM (1976), Um primeiro curso em probabilidade , (seção 2.7)

Tymoczko, T. e Henle, J. (original de 1995) ( referência da 2ª edição de 1999 no google ), Sweet Reason: um guia de campo para a lógica moderna

OK, vou tentar novamente.

A resposta é que o paradoxo é puramente matemático. As respostas de Enumaris e cmaster dizem o que está acontecendo de uma maneira, mas essa é outra maneira de ver o problema. O problema é como lidamos com probabilidades com infinitos, como Jaynes escreveu (veja minha outra tentativa de resposta para obter detalhes).

Uma série infinita geralmente é tratada como se não tivesse fim, mas neste problema há um tempo de término (12:00) e, logicamente, mesmo que não matematicamente, há um último ciclo de adição e remoção de bolas: o que acontece infinitamente antes das 12h. A existência de um 'último' ciclo permite-nos olhar para as probabilidades de trás para a frente e de frente ao longo do tempo.

Considere as dez bolas adicionadas pela última vez. Para cada um deles, a probabilidade de serem removidos é zero, porque cada um deles é apenas uma das esferas infinitas que podem ser removidas. Assim, a probabilidade de haver pelo menos dez bolas às 12h é a unidade.

QED. Um argumento probabilístico que não leva a bobagens.

Recentemente, vários comentários de Wilhelm, Wolfgang Mückenheim, levaram-me a reconsiderar certas formulações em minha resposta. Estou postando isso como uma nova resposta, principalmente porque a abordagem diferente dessa resposta, não discutindo sobre o ensino desse problema, mas sobre o paradoxo que é inválido.

Wilhelm discute em seu longo manuscrito que

As transações são possíveis apenas nas etapas finitas (não há ação possível "entre todos os e ").$n$$n$$\omega$

Isso me lembrou o termo

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

que é derivado do trabalho de Ross. Este termo é indeterminado quando o caminho para o infinito não está definido para o seguinte limite.

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

Isso parece assemelhar-se ao ponto que Wilhelm discute e também é mencionado na resposta de aksakal. Como as etapas no tempo se tornam infinitamente pequenas, poderemos chegar às 12 horas nesse sentido, mas ao mesmo tempo precisaremos adicionar e remover um número infinito (não físico) de bolas. É uma idéia falsa anexar essa supertarefa a um processo como a flecha de Zenão, assim como o interruptor da lâmpada paradoxal de Thompson não pode ter uma posição definida no final de uma supertarefa.

Em termos do limite, podemos dizer que o caminho físico para o infinito que tomamos é

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

então não zero, mas infinito.

Eu acredito que este exemplo suporta "se a premissa é falsa, a condicional é verdadeira"

Neste universo, não há urnas infinitas nem coleção infinita de bolas. É impossível dividir o tempo em pedaços arbitrariamente pequenos.

Assim, Sheldon Ross está certo ao dizer que a urna está vazia às 12h. Os alunos que dizem que a urna tem bolas infinitas às 12h têm a mesma razão.

Se você respondeu que a urna tem 50 bolas, você também está correto.

Não provei rigorosamente que esse universo não contém urnas e bolas infinitas e que o tempo não é atômico - apenas acredito nessas coisas. Se você acredita que essas três afirmações estão erradas, acredita que o problema de Ross é empiricamente falsificável. Estou aguardando seus resultados experimentais.

Apoio a opinião de que o problema está mal colocado. Quando consideramos algo transfinito, geralmente precisamos usar um limite. Parece que aqui é o único caminho. Como distinguimos bolas diferentes, temos um processo de dimensão infinita onde representa o tempo, se houver a bola no tempo e caso contrário.

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

Agora, fica a critério de cada um de quais convergências usar: uniforme, componente a componente, , etc. Desnecessário dizer que a resposta depende da escolha.$l_p$

O mal-entendido nesse problema passa por negligenciar o fato de que questões métricas são cruciais quando consideramos a convergência de vetores de dimensão infinita. Sem escolher o tipo de convergência, nenhuma resposta correta pode ser dada.

(Existe uma convergência componente a vetor zero. Embora a norma conte o número de bolas, portanto, nessa norma, o processo está explodindo.)$l_1$

Mais intuição do que educação formal, mas:

Se os intervalos para a meia-noite estão diminuindo pela metade, nunca chegamos à meia-noite ... apenas nos aproximamos assintoticamente; assim pode-se argumentar que não é nenhuma solução.

Como alternativa, dependendo do fraseado:

• como existem intervalos infinitos de +10 bolas, a resposta é infinita
• como existem intervalos infinitos de (+10 bolas - 1) a resposta é 10 * infinito -1 * infinito = 0?
• como existem intervalos infinitos de (+9 bolas) +1, a resposta é infinita + 1

Reescrever: 16/01/2018

Seção 1: Esboço

Os resultados fundamentais deste post são os seguintes:

• A bola intermediária tem uma probabilidade de cerca de de permanecer no limite à medida que a etapa vai para - essa é uma observação do mundo real e é derivada matematicamente. A função derivada possui um domínio dos racionais em . Por exemplo, a probabilidade no limite da bola intermediária restante corresponde ao valor do domínio . Essa função pode calcular a probabilidade de permanecer para qualquer fração de o tamanho da etapa.$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• A análise de Ross não está errada, mas é incompleta porque tenta iterar os racionais em ordem de magnitude . Os racionais não podem ser iterados em ordem de magnitude. Portanto, a análise de Ross não pode acessar o domínio completo e pode oferecer apenas uma visão limitada do comportamento total.$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  
• A análise de Ross, no entanto, explica um comportamento observável específico: no limite, não é possível através da iteração serial de 1 alcançar o primeiro ballset restante.
• As seqüências de limite de Ross têm boas propriedades convincentes que parecem intuitivamente únicas.
  No entanto, mostramos outro conjunto de seqüências limite que satisfazem as mesmas boas propriedades e fornecem os valores para nossa função.

A seção 2 "Notação e terminologia" abrange a notação e a terminologia usadas nesta publicação.

A Seção 3 "The Halfway Ballset" introduz uma observação do mundo real - converge no limite da probabilidade de permanecer de uma bola cujo índice esteja na metade de todas as bolas inseridas. Este valor limite é de cerca de 91%. O caso do ballset intermediário é generalizado para qualquer racional em , que todos têm valores-limite diferentes de zero. $(0,1]$

A seção 4 "Resolução do paradoxo" apresenta uma estrutura unificada para incluir os resultados de Ross e os de "domínio racional" (descritos aqui). Como já observado, a análise de Ross oferece apenas uma visão limitada do comportamento total. Portanto, a fonte do paradoxo é identificada e resolvida.

No apêndice são discutidos outros resultados menos importantes:

• "Expectativas no limite" calcula o número esperado de bolas restantes até e incluindo qualquer fração do tamanho da etapa.
• Um corolário desse resultado é determinar o índice da primeira bola que tem uma expectativa de permanecer maior que uma.

Seção 2: Notação e terminologia

• Nós rotular os índices de bola inseridos no passo como e chamar isso de definir o th "ballset". Ballset é uma palavra criada para este post. Infelizmente, essa terminologia se desvia da terminologia de Ross, mas também torna o texto muito mais claro e mais curto.$n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  
• A notação refere-se ao evento em que a bola no ballet permanece no passo , ignorando as outras bolas no ballset.$E(a,b)$$a.1$$a$$b$
• A notação é uma abreviação de e refere-se à probabilidade de . Observe que todas as bolas no ballset têm a mesma probabilidade de permanecer. - O valor de é .$P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• O limite de Ross é a probabilidade conforme vai para o infinito: -$P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• O limite racional é definido como o limite, pois o índice de bola e a etapa vão para o infinito, mantendo a razão constante: -$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

Seção 3: O ballset a meio caminho

Em cada passo, mesmo , o ballset meio caminho é definido como o th ballset. A cada passo par , a probabilidade de permanência no meio é definida como . No limite como , a probabilidade de permanecer no meio é, portanto, . O teorema 1 abaixo fornece um valor numérico para a probabilidade intermediária de permanecer.n 2 n P ( n , 2 n ) n → $2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

Teorema 1 - Limite de probabilidade de elementos em uma sequência de domínio que preserva a razão

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ A A prova é apresentada abaixo, pouco antes do apêndice.

Pelo Teorema 1, a probabilidade intermediária de permanecer no limite é que avalia um valor decimal aproximado de .$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

Verificação de integridade Permite fazer uma verificação de integridade para verificar se o limite numérico da probabilidade intermediária "parece correto".

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

As primeiras 4 linhas são as probabilidades intermediárias de permanecer para os valores do número da etapa de , , e , respectivamente. A linha final é o limite. Parece que as probabilidades intermediárias estão de fato convergindo para o limite previsto. Essa observação do mundo real, que não se enquadra na estrutura de Ross, precisa ser explicada. $10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

** Seção 4 "Resolução do paradoxo" **

Esta seção explica uma estrutura unificada para a análise de Ross e a análise de domínio racional. Ao vê-las juntas, o paradoxo é resolvido.

O limite racional é redutível a uma função dos racionais para os reais : onde e . Aqui indica o maior divisor comum. As instruções equivalentes são " e são prime mutuamente "e" é a fração reduzida de . $P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}$

O limite de Ross pode ser escrito como o limite de uma sequência de limites racionais: A tupla não é um membro dos racionais em ; pertence a portanto o limite de Ross é isomórfico à função no domínio e sua imagem é sempre o único real .

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

O limite de Ross e o limite racional são a mesma função em dois domínios separados e respectivamente. O limite de Ross considera apenas o caso de índices de ballset que foram rebaixados como infinitamente pequenos em relação ao tamanho do passo. $[0,0]$$(0,1]$

A análise de limite de Ross prevê que, no limite, acessar os valores sequencialmente para nunca atingirá um valor diferente de zero. Este é um correto e corresponde à observação do mundo real.$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$

A análise do limite racional é responsável por observações do mundo real, como o ballset intermediário que o limite de Ross não leva em consideração. A função é a mesma mas o domínio é vez de$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

O diagrama abaixo mostra as seqüências de limite de Ross e as seqüências de limite racional.

Provavelmente, é justo dizer que a análise de Ross inclui uma suposição implícita de que o limite de Ross e seu domínio são todo o domínio de interesse. A intuição implícita subjacente à suposição de Ross é semelhante às quatro condições abaixo, mesmo que não sejam explicitamente reconhecidas:

Seja a ésima sequência do limite de Roth. Seja seja a união das seqüências limite de Roth. $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• (1) As seqüências são separadas e cada sequência converge.$S_i$
• (2) A união dos elementos de todas as seqüências cobre exatamente o conjunto de todas as tuplas (bola, passo) entrando em jogo:$S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• (3) Todas as seqüências são infinitas em , o índice de etapas, para que não terminem "precocemente".$S_i$$n$
• (4) As próprias seqüências formam uma super sequência . Portanto, essa super sequência pode ser "criada" iterativamente, i, e ,, são contáveis.$S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

Não é imediatamente aparente que outro sistema de seqüências limite possa satisfazer os pontos acima (1) - (4).

No entanto, discutiremos agora outro sistema de seqüências limite que realmente satisfazem os pontos acima (1) - (4).

Seja , onde , represente a sequência do limite racional Seja as tuplas mutuamente primárias de : = . Seja a união das referidas seqüências de limites racionais: $S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

Claramente, as seqüências cuja união é satisfazem as propriedades acima (1) - (3). Os índices são exatamente os racionais em . Para satisfazer a condição (4), precisamos mostrar que os racionais em são contáveis. $S_{p,q}$$S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

A (sequência de Farey) 2 da ordem é a sequência de frações completamente reduzidas entre 0 e 1 que, quando em termos mais baixos, têm denominadores menores ou iguais a , organizados em ordem crescente de tamanho. Aqui estão as oito primeiras seqüências do Farey:$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Vamos representa o th sequência de farey sem o primeiro elemento de .$F^*_n$$n$$0/1$

Seja a união de seqüências de limites racionais que possuem pelo menos um elemento até e incluindo a etapa : $S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

Os elementos do índice , convertidos de frações em tuplas, indexam exatamente os elementos de . A tabela a seguir compara o agrupamento das seqüências de limite na análise de Ross e a análise de limite racional:$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

Finalmente, como existem métodos [ 3 ], [ 4 ] para criar iterativamente a super sequência , a condição (4) também é satisfeita.$F^*_n$

Um desses métodos, uma variante da árvore Stern-Brocot, é o seguinte:

A mediante de dois racionais e é definido como$a/c$$b/d$$\frac{a+b}{c+d}$

• Defina$F*_n = \emptyset$
• Anexar a$1/n$$F*_n$

• Loop para em$i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • Anexar a F * _n $$F*_{n-1}[i]$

  • Seja$x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • Se anexa x a$denom(x) \leq n$$F*_n$
  • continuar loop
• Anexar a$F*_{n-1}[n]$$F*_n$

O paradoxo foi resolvido.

Prova do teorema 1 Primeira nota que: que a última transformação é a transformação Sterling.

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

Então, sintaticamente substituindo e na última equação (Sterling forma) obtemos $a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

Apêndice: Outros resultados

Expectativas no limite

Esta seção fornece uma expressão fechada para o número esperado de bolas restantes até e incluindo qualquer fração do tamanho da etapa.
Um corolário desse resultado é uma aproximação numérica do índice da primeira bola que tem uma expectativa de permanecer maior que uma.

( Continua )

Editar Editar

Longa história curta. O chamado paradoxo é um erro de forma indeterminado, um erro de iniciante com um resultado semelhante a um erro de divisão por zero, provando que . Tais erros, neste caso para contar números, naturalmente produzem respostas que podem ser 0, ou .$1=2$$n$$\infty$

Aliás, quando se adiciona um número infinito de probabilidades infinitesimais, cria-se , uma forma indeterminada, e a prova de Ross não está correta. Para obter uma resposta correta, use a Regra de L'Hopital. infinito não é um número . Tratar o infinito como se fosse um número leva a erros.$\frac{1}{\infty}\infty$