Por que um estimador é considerado uma variável aleatória?

Meu entendimento sobre o que é um estimador e uma estimativa: Estimador: uma regra para calcular uma estimativa Estimativa: O valor calculado a partir de um conjunto de dados com base no estimador

Entre esses dois termos, se for solicitado que eu aponte a variável aleatória, eu diria que a estimativa é a variável aleatória, pois seu valor será alterado aleatoriamente com base nas amostras do conjunto de dados. Mas a resposta que me foi dada é que o Estimador é a variável aleatória e a estimativa não é uma variável aleatória. Por que é que ?

— Kanmani
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Respostas:

Um tanto vagamente - tenho uma moeda na minha frente. O valor do próximo sorteio da moeda (digamos {Head = 1, Tail = 0}) é uma variável aleatória.

Tem alguma probabilidade de assumir o valor ( se o experimento for "justo"). $1$ $\frac12$

Mas uma vez que eu o lancei e observei o resultado, é uma observação, e essa observação não varia, eu sei o que é.

Considere agora que vou jogar a moeda duas vezes ( ). Ambas são variáveis aleatórias, assim como sua soma (o número total de cabeças em dois lançamentos). Assim é a média (a proporção de cabeça em dois lançamentos) e a diferença, e assim por diante. $X_1, X_2$

Ou seja, funções de variáveis aleatórias são, por sua vez, variáveis aleatórias.

Portanto, um estimador - que é uma função de variáveis aleatórias - é ele próprio uma variável aleatória.

Porém, depois de observar essa variável aleatória - como quando você observa um sorteio ou qualquer outra variável aleatória - o valor observado é apenas um número. Não varia - você sabe o que é. Portanto, uma estimativa - o valor que você calculou com base em uma amostra é uma observação em uma variável aleatória (o estimador) em vez de uma variável aleatória em si.

— Glen_b -Reinstate Monica
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+1, o thread que vale a pena mencionar é: stats.stackexchange.com/questions/7581/…

— Tim

mas uma vez que observamos, por que é uma estimativa? não há nada a ser estimado após a observação?

— Parthiban Rajendran

É uma estimativa de um parâmetro populacional não observado. Por exemplo, no experimento de lançamento de moedas em que você não sabe que a moeda é justa, o número médio observado de caras em lançamentos é uma estimativa adequada da probabilidade de uma cabeça.

n

$n$

— Glen_b -Reinstala Monica 15/02/19

Estou muito confuso agora, porque @ Tim ligado um segmento que explicitamente disse um estimador não é uma variável aleatória

— Colin Hicks

Se você possui uma função (digamos, com argumento vetorial), , é apenas uma função, mas o valor dessa função quando é aplicado a uma coleção de variáveis ( ) cujos componentes são variáveis aleatórias (talvez correspondendo a algum procedimento de amostragem aleatória em alguma população), então será uma variável aleatória. Se você definir como o estimador, então é apenas uma função. Mas se você chamou estimador, é uma variável aleatória. Estritamente, esse último uso (como já foi mencionado acima) é bastante flexível (mas bastante comum). ...

g

$g$

g

$g$

g

$g$

X = (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n})

$X=(X_1,X_2,...,X_n)$

T = g (X)

$T=g(X)$

g

$g$

g

$g$

T

$T$

T

$T$

— ctd

Meus entendimentos:

Um estimador não é apenas uma função, cuja entrada é uma variável aleatória e gera outra variável aleatória, mas também uma variável aleatória, que é apenas a saída da função. Algo como , quando falamos de , queremos dizer tanto a função quanto o resultado . $y=y(x)$ $y$ $y()$ $y$
Exemplo: um estimador , queremos dizer ambos , que é uma função, e seu resultado , que é uma variável aleatória. $\overline X=\mu(X_1,X_2,X_3)=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$ $\mu()$ $\overline X$
A diferença entre estimador e estimativa é sobre antes de observar ou depois de observar.
Na verdade, semelhante a um estimador, uma estimativa também é uma função e um valor (a saída da função). Mas a estimativa está no contexto de depois da observação e, por outro lado, o estimador está no contexto de antes da observação.

Uma figura ilustra a ideia acima:

Eu pesquisei essa questão durante meu fim de semana, depois de ler muito material da internet, ainda estou confuso. Embora eu não tenha certeza absoluta de que minha resposta está certa, parece-me que é a única maneira de deixar tudo fazer sentido.

— dawen
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+1 Você está fazendo boas distinções. Dado seu interesse e dedicação, recomendo consultar um bom livro em vez de confiar inteiramente na Internet? Os livros didáticos podem aprofundar-se em um assunto de maneira consistente, enquanto profundidade e consistência são muito difíceis de encontrar on-line.

— whuber

oi whuber, eu recomendo este newonlinecourses.science.psu.edu/stat414 como um material de aprendizagem de probabilidade e estatística no nível de graduação, e All of Statistics by Larry também é um bom livro para iniciantes. Quase todos os meus professores de estatística recomendam estatísticas matemáticas por j. shao como um livro didático de nível de pós-graduação. Concordo com você que a consistência e a profundidade são muito importantes para o aprendizado, acho que os livros e os cursos são para a consistência, enquanto o wiki e o StackExchange são para a profundidade.

— dawen 13/05/19