A aplicação do CLT à soma de variáveis aleatórias é uma boa aproximação?

Eu uso para significar uma distribuição com média e variância , adicionado para significar a distribuição normal. $(\mu, \sigma^2)$ $\mu$ $\sigma^2$ $\mathcal{N}$

Vamos supor que com . A declaração formal do teorema do limite central (CLT) diz que Foi discutido aqui que a declaração não é uma afirmação sobre convergência na distribuição, mas antes, uma aproximação. Essa aproximação é frequentemente citada como sendo uma aproximação bastante decente quando . $X_1, \dots, X_n\overset{\text{iid}}{\sim}(\mu, \sigma^2)$ $\sigma^2 < \infty$

\frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}} \overset{d}{\to} N (0, 1) .

$\dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\mathcal{N}(0, 1)\text{.}$

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, σ^{2} / n)

$\bar{X}_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n)$

n \geq 30

$n \geq 30$

Agora, teoricamente, poderíamos dar um passo adiante e dizer que é um declaração aproximada do CLT.

\begin{matrix} (1) & \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (n μ, n σ^{2}) \end{matrix}

$\sum_{i=1}^{n}X_i\sim\mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2)\tag{1}$

Dado que $(1)$ não é o CLT real, eu me pergunto o quão bem essa aproximação é executada. Funciona bem em geral? Honestamente, eu ficaria preocupado com isso no caso de uma distribuição particularmente distorcida.

Se isso for muito amplo, eu posso fechar isso.

central-limit-theorem approximation

— Clarinetist
fonte

Essa é uma pergunta muito bem elaborada. Você pode achar que as respostas já apareceram. Tente esta pesquisa: stats.stackexchange.com/search?q=esseen .

— whuber

Você pode consultar o teorema de Berry-Esseen para obter informações sobre a taxa de convergência. O termo boa aproximação é subjetivo. Para ser preciso, defina qual deve ser a distância máxima entre a distribuição aproximada e o normal padrão para que a aproximação seja "boa".

— Michael R. Chernick

Eu não acho que seja uma notação precisa o suficiente (mesmo com o texto adicional explicando isso). Uma notação melhor seria " é ", com o entendimento de que significa converge para na distribuição.

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, σ^{2} / n)

$\bar{X}_n \sim N(\mu, \sigma^2/n)$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

A N (μ, σ^{2} / n)

$AN(\mu, \sigma^2/n)$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ) / σ

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)/\sigma$

N (0, 1)

$N(0, 1)$

— precisa saber é o seguinte

@ Zhanxiong: a notação com a qual estou mais familiarizado é , com significa "distribuído aproximadamente".

{\bar{X}}_{n} \dot{\sim} N (μ, σ^{2} / n)

$\bar X_n \dot \sim N(\mu, \sigma^2/n)$

\dot{\sim}

$\dot \sim$

— Cliff AB

Empiricamente, a qualidade da aproximação depende da distribuição subjacente de . Intuitivamente, a aproximação funciona melhor para rvs simétricos e contínuos. Por exemplo, você pode precisar de muito menor para obter uma aproximação normal decente para do que para .

X_{i}

$X_i$

n

$n$

X \sim Bin (1, 0.5)

$X \sim \text{Bin}(1, 0.5)$

X \sim Bin (1, 0.01)

$X \sim \text{Bin}(1, 0.01)$

— precisa saber é o seguinte

Ao contrário, se o escore Z fosse realmente uma distribuição normal padrão, suas aproximações subsequentes seriam exatas. O grau de erro deve escalar aproximadamente com alguma medida da distância entre a distribuição do escore Z e o Gaussiano padrão.

Podemos usar a distância KS como nossa métrica no espaço dos CDFs. Digamos que coletaremos amostras e nosso (desconhecido) CDF de amostra verdadeira do escore Z dessas amostras terá uma distância KS de : . $N$ $N$ $\epsilon_N$ $\max_z |F_{Z_n}(z) - F_{\Phi}(z)| = \epsilon_N$

Agora, passando de para onde envolve apenas uma mudança de escala e localização (ou seja, uma transformação linear do argumento de ). O mesmo se aplica para obter em uma soma de variáveis aleatórias normais com a mesma média e variação que a sua população real. De fato, você estará fazendo exatamente a mesma transformação para ambas as variáveis; portanto, simplesmente e da mesma forma para - porque estamos sujeitando o argumento de cada distribuição à mesma transformação, preservaremos distâncias verticais. $F_{Z_n}(z)$ $F_{S_n}(s)$ $S_n = \sum_1^N X_i$ $Lz$ $F_{Z_n}(z)$ $F_{\Phi}(z)$ $F_{Z_n}(z) \mapsto F_{Z_n}(L^{-1}z)$ $F_{\Phi}$

Portanto, a distância KS para convergirá para zero na mesma taxa que para . No entanto, não tem uma distribuição limitadora (é basicamente , o que não é uma distribuição) enquanto converge para uma função de distribuição real. $F_{S_n}$ $F_{Z_n}$ $F_{S_n}$ $F(x)=0.5$ $F_{Z_n}$

A aplicação do CLT à soma de variáveis ​​aleatórias é uma boa aproximação?

A aplicação do CLT à soma de variáveis aleatórias é uma boa aproximação?