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Seja variáveis aleatórias independentes. $X_i\sim\text{Gamma}(\alpha,p_i),i=1,2,...,n+1$

Defina e . Mostre que são distribuídos independentemente. $Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ $Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$ $Z_1,Z_2,...,Z_{n+1}$

A densidade da junta de é dada por $(X_1,...,X_{n+1})$

f_{X} (x_{1}, . . ., x_{n + 1}) = [\frac{α^{\sum_{i = 1}^{n + 1} p_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n + 1} Γ (p_{i})} \exp (- α \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i}) \prod_{i = 1}^{n + 1} x_{i}^{p_{i} - 1}] I_{x_{i} > 0}, α > 0, p_{i} > 0

$f_{\bf X}(x_1,...,x_{n+1})=\left[\frac{\alpha^{\sum_{i=1}^{n+1}p_i}}{\prod_{i=1}^{n+1}\Gamma(p_i)}\exp\left(-\alpha\sum_{i=1}^{n+1}x_i\right)\prod_{i=1}^{n+1}x_i^{p_i-1}\right]\mathbf I_{x_i>0}\quad,\alpha>0,p_i>0$

Transformamos modo que $\mathbf X=(X_1,\cdots,X_{n+1})\mapsto\mathbf Z=(Z_1,\cdots,Z_{n+1})$

$Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ e $Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$

$\implies x_{n+1}=z_1z_{n+1},$

$\qquad x_n=z_1z_n(1-z_{n+1}),$

$\qquad x_{n-1}=z_1z_{n-1}(1-z_n)(1-x_{n+1}),$

$\qquad\vdots$

$\qquad x_3=z_1z_3\prod_{j=4}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_2=z_1z_2\prod_{j=3}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_1=z_1\prod_{j=2}^{n+1}(1-z_j)$ , em que e $0<z_1<\infty$ $0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

O jacobiano da transformação é $J=\dfrac{\partial(x_1,...,x_{n+1})}{\partial(z_1,...,z_{n+1})}=\det\begin{pmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_1}{\partial z_{n+1}} \\ &\ddots\\\frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_{n+1}}\\\end{pmatrix}$

Executando a operação , obtemos como o determinante de $R_1'=\sum_1^{n+1}R_i$ $J$

$\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0&0 \\z_2\prod_3^{n+1}(1-z_j)& z_1\prod_3^{n+1}(1-z_j) \\ z_3\prod_4^{n+1}(1-z_j)&0& z_1\prod_4^{n+1}(1-z_j)\\&&&\ddots\\z_n(1-z_{n+1})&0&0&\cdots&z_1(1-z_{n+1})& -z_1z_n \\z_{n+1}&0&0 &\cdots&0& z_1\\\end{pmatrix}$

que é igual a . $z_1^n(1-z_3)(1-z_4)^2...(1-z_n)^{n-2}(1-z_{n+1})^{n-1}$

Após alguma simplificação, obtemos a densidade conjunta de como $\bf Z$

$f_{\bf Z}(z_1,...,z_{n+1})=\prod_{i=1}^{n+1}f_{Z_i}(z_i)$

onde $Z_1\sim \text{Gamma}(\alpha,\sum_1^{n+1}p_i),$

$\qquad Z_2\sim \text{Beta}_1(p_1,p_2),$

$\qquad Z_3\sim \text{Beta}_1(p_3,p_1+p_2),$

$\qquad \vdots$

$\qquad Z_{n+1}\sim \text{Beta}_1(p_{n+1},\sum_1^np_i)$ ,

com e , $0<z_1<\infty$ $0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

$\alpha>0$ e para . $p_i>0$ $i=1,2,...,n+1$

Escusado será dizer que encontrar as soluções inversas e avaliar o jacobiano era complicado e demorado. Além de fazer o trabalho, também determina as distribuições dos 's. $x_i$ $Z_i$

Existe alguma maneira mais simples de mostrar apenas a independência dos 's? $Z_i$

— Teimoso
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Eu quis dizer nos rhs de .

. . . (1 - z_{n + 1})

$...(1-z_{n+1})$

x_{n - 1}

$x_{n-1}$

— precisa

A única maneira de pensar em simplificar isso é usando indução, ou seja, começando com o caso n = 1 e encontrando e são independentes, depois usando a independência de com o ( ) para adicionar apenas o um por um, conforme necessário.

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

X_{i}

$X_i$

Z_{j}

$Z_j$

j < i

$j<i$

X_{i}

$X_i$

— aleshing

Relacionado com a distribuição Dirichlet .

— precisa

Vou provar a afirmação equivalente.

Seja , , , sejam independentes. Denota , ; , . Então , , , e são independentes e . $n\ge 1$ $X_k\sim \Gamma(\alpha,p_k)$ $k=1,\dots,n+1$ $S_k = X_1+\dots+X_k$ $k=1,\dots,n+1$ $R_k = \frac{S_k}{S_{k+1}}$ $k=1,\dots,n$ $R_1$ $R_2$ $\dots$ $R_{n}$ $S_{n+1}$ $S_{n+1}\sim \Gamma(\alpha,p_1+\dots + p_{n+1})$

Observação Na notação OP, , , . $Z_1=S_{n+1}$ $Z_k = 1 - R_{k-1}$ $k=2,\dots,n+1$

Prova . é fácil (e bem conhecido). $n=1$

$n-1\Rightarrow n$ .

Por hipótese de indução e independência, os vetores e são independentes. Portanto, os vetores e são independentes. Ambos os vetores têm componentes independentes: por hipóteses de indução, por base de indução. Portanto, seus componentes são variáveis aleatórias independentes. $\mathbf{R} = (R_1,\dots,R_{n-1})$ $(S_{n},X_{n+1})$ $\mathbf{R}$ $\big(\frac{S_{n}}{S_{n}+X_{n+1}},S_{n}+X_{n+1}\big) = (R_n,S_{n+1})$ $\mathbf R$ $(R_n,S_{n+1})$

Não há problema em incluir a distribuição de na instrução, a prova não será alterada. A distribuição de já está lá: preciso dizer que a independência de e segue a base de indução. $R_n$ $S_n$ $R_n$ $S_{n+1}$

— zhoraster
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