Se a soma das probabilidades de eventos é igual à probabilidade de sua união, isso implica que os eventos são disjuntos?

Axiomaticamente, probabilidade é uma função que atribui um número real P ( A ) a cada evento A se satisfizer as três suposições fundamentais (suposições de Kolmogorov):$P$$P(A)$$A$

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

Minha pergunta é, na última suposição, o inverso é assumido? Se eu mostrar que as probabilidades de um determinado número de eventos podem ser adicionadas para obter a probabilidade de sua união, posso usar diretamente esse axioma para afirmar que os eventos são desunidos?

Não, mas você pode concluir que a probabilidade de qualquer evento compartilhado é zero.

$A_i \cap A_j=\emptyset$$i\ne j$$P(A_i \cap A_j)=0$$i\ne j$

Em outras palavras, você pode dizer, com probabilidade 1, que nenhum dos conjuntos pode ocorrer juntos. Eu já vi esses conjuntos chamados quase disjuntos ou quase certamente disjuntos, mas acho que essa terminologia não é padrão.

Na verdade, por exemplo, não considere a distribuição uniforme.

$A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_i =\emptyset$$i>2$

$P(A_1)=0.5$$P(A_2)=0.5$$1$$A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

$0$