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Se , encontre a distribuição de .XC(0,1)Y=2X1X2

TemosFY(y)=Pr(Yy)

=Pr(2X1X2y)

={Pr(X(,11+y2y])+Pr(X(1,1+1+y2y]),ify>0Pr(X(1,1+1+y2y])+Pr(X(1,11+y2y]),ify<0

Eu me pergunto se a distinção do caso acima está correta ou não.

Por outro lado, o seguinte parece um método mais simples:

Podemos escrever usando a identidade2 tan zY=tan(2tan1X)2tanz1tan2z=tan2z

Agora,XC(0,1)tan1XR(π2,π2)

2tan1XR(π,π)

tan(2tan1X)C(0,1) , o último sendo uma transformação 2-para-1.

Mas se me pedem para derivar a distribuição de da definição, acho que o primeiro método é como devo proceder. O cálculo se torna um pouco confuso, mas chego à conclusão correta? Qualquer solução alternativa também é bem-vinda.Y


As Distribuições Univariadas Contínuas (Vol.1) de Johnson-Kotz-Balakrishnan destacaram essa propriedade da distribuição de Cauchy. Como se vê, esse é apenas um caso especial de resultado geral.

insira a descrição da imagem aqui

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A segunda solução está completamente correta, portanto não deve haver objeção a ela.
Xian

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Adendo: como , a primeira resolução deve acabar usando essa identidade na tangente. P(X<x)=tan1(x)/π+1/2
Xian

@ Xi'an Na verdade, estou tentando terminar o argumento no primeiro método.
StubbornAtom

Respostas:


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Uma maneira alternativa, mais simplista, de ver:

distribuição padrão de Cauchy:

f(x)dx=π1x2+1dx

transformações de variáveis:

u(x)=2x1x2andx1(u)=1u2+1u,x2(u)=1+u2+1u

transformação da distribuição:

g(u)du=i=1,2f(xi(u))|dxidu|du

Se você trabalha com isso, que não precisa se tornar tão bagunçado, você terá

g(u)=π1u2+1

representação gráfica

representação gráfica intuitiva da transformação


Esse tipo de funciona como a identidade , mas escrito de forma mais explícita.2tanz1tan2z=tan2z

Ou como sua representação com a função de distribuição cumulativa dividida mas agora para uma divisão em .FY(y)=Pr(Yy)fY(y)=Pr(y-1 12dyYy+1 12dy)


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Na verdade, a fórmula de transformação, quando possui mais de uma raiz para qualquer dado , digamos para , éPortanto, a adição que você descreve como necessária é realmente incorporada à fórmula. x(u)uxi(u)=ui=1,2,n
g(u)=i=1nf(xi(u))|dxi(u)du|.
Dilip Sarwate

@DilipSarwate vou mudar isso.
Sextus Empiricus

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A transformação na segunda abordagem parece falta de motivação (alguns detalhes também precisam ser preenchidos). Aqui, pelo cálculo da função característica, estou tentando fazer backup da sua transformação "misteriosa".

A função característica de pode ser calculada da seguinte forma: que nos sugere tentar a transformação , que leva a Y

φY(t)=E[eitY]=eit2x1x21π(1+x2)dx=1πeit2x1x2darctanx,
u=arctanx
(1)φY(t)=1ππ/2π/2eit2tanu1tan2udu=1 1π-π/2π/2eEutbronzeado(2você)dvocê.

Nosso objetivo é mostrar que a integral em é igual à função característica de uma variável aleatória padrão Cauchy : (1 1)X

φX(t)=-eEutx1 1π(1 1+x2)dx2)=1 1π-π/2π/2eEutbronzeadovocêdvocê

Por que a integral em igual à integral em ? À primeira vista, isso é um pouco contra-intuitivo. Para verificar isso, precisamos tratar a monotonicidade da função cuidado. Vamos continuar trabalhando :(1 1)(2)bronzeado()(1 1)

φY(t)=1 1π-π/2π/2eEutbronzeado(2você)dvocê=1 12π-ππeEutbronzeadovdv(Mudança de variável v=2você)=1 12π[-π-π/2+-π/2π/2+π/2π]eEutbronzeadovocêdvocê=1 12φX(t)+1 12π-π-π/2eEutbronzeadovdv+1 12ππ/2πeEutbronzeadovdv(3)=1 12φX(t)+1 12π-π/20 0e-Eutbronzeadovocê1 1dvocê1 1+1 12π0 0π/2e-Eutbronzeadovocê2dvocê2(4)=1 12φX(t)+1 12π-π/2π/2e-Eutbronzeadovdv=φX(t)(5)

(3) : Como a função não é monótona no intervalo , fiz essa divisão de modo que cada integrando seja monótono no intervalo separado (o que garante a alteração subsequente de fórmulas variáveis ​​válidas).vocêbronzeado(você)(-π,π)

(4) : Os dois mudança de fórmulas variáveis são e .você1 1=-π-vvocê2=π-v

(5) : Última alteração da fórmula variável .você=-v

As etapas - elaboraram a declaração "a última sendo uma transformação de 2 para 1" na pergunta do OP.(3)(5)


Eu me pergunto por que a segunda abordagem é "misteriosa" ou "carece de motivação". O fato de que é um resultado muito padrão que é facilmente visto usando a transformação integral de probabilidade. E na última etapa em que eu vou de para é possivelmente justificado da seguinte forma:ΘRect(-π/2,π/2)bronzeado(Θ)C(0 0,1 1)vocêRect(-π,π)V=bronzeadovocêC(0 0,1 1)
StubbornAtom

... . Eu diferencio o wrt acima para obter , onde multiplico o jacobiano por 2 porque a transformação é de dois para um em . Tudo isso pode ser expresso com mais rigor, eu acho. v f V ( v ) = f U ( tan - 1 v ) 2 dFV(v)=Pr(bronzeadovocêv)=Fvocê(bronzeado-1 1v)v(-π,π)fV(v)=fvocê(bronzeado-1 1v)2ddv(bronzeado-1 1v)(-π,π)
precisa
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