A soma da combinação linear de produto de exponencial é exponencial

Este problema surgiu em minha pesquisa: suponha que sejam distribuições exponenciais (ED) com média e permita que seja um número não negativo. É verdade que Isso passa na verificação de sanidade, pois o valor esperado de ambos os lados é igual a , e se deixarmos , o lado esquerdo será igual a , que é exponencial. Fora isso, não tenho certeza de como abordar esse problema, pois não sei como lidar com o produto de EDs.$V_i \sim \text{ED}$$1$$\lambda$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}V_{0} \cdots V_k}{k!} \sim \text{ED}?$$ $1$$\lambda = 0$$V_0$

Não é uma resposta completa, desculpe, mas algumas idéias (para desejar um comentário). Observe que o que você possui é um produto de variáveis ​​aleatórias iid, em que é uma variável aleatória (rv) com uma distribuição de poisson com o parâmetro . Isso pode ser usado para outra "verificação de sanidade", uma simulação (usando exponenciais da taxa 1):$K+1$$K$$\lambda$

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

O resultado qqplot(não mostrado aqui) está longe de ser uma linha reta, portanto, isso não parece ser um exponencial da taxa 1. A média está correta, a variação é grande, há uma cauda direita muito mais longa do que para um exponencial. O que pode ser feito teoricamente? A transformação de Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform é adaptada a produtos de variáveis ​​aleatórias independentes. I computar apenas para o exponencial com taxa 1. A Mellin transformada de , em seguida, é H 1 ( s ) = E V s 0 = ∫ ∞ 0 x s e - $V_0$ modo que a transformação de Mellin de um produto de k + 1 exponencial iid é Dado que

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_1(s) = \E V_0^s = \int_0^\infty x^s e^{-x}\; dx = \Gamma(s+1)$$ $k+1$ $$M_{k+1}(s) = \Gamma(s+1)^{k+1}$$ $K$ tem um A distribuição de Poisson com o parâmetro , a transformação de Mellin do produto aleatório de um número aleatório K + 1 fatores, é M ( s ) = E M K + 1 ( s ) = E Γ ( s + 1 $\lambda$$K+1$ , mas não consegue encontrar um inverso desta transformação. Mas note que seXé uma variável aleatória não negativa com a transformação de MellinMX(t), definindoY=logX, descobrimos que KY(t)=Ee $$M(s) = \E M_{K+1}(s) = \E \Gamma(s+1)^{K+1}= \Gamma(s+1)e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\Gamma(s+1)^k=e^{-\lambda}\Gamma(s+1) e^{\lambda \Gamma(s+1)}$$ $X$$M_X(t)$$Y=\log X$ de modo a transformar Mellin deXé a função geradora momento do seu logaritmoY. Portanto, usando isso, podemos aproximar a distribuição deXcom os métodos de aproximação do ponto de sela.Como funciona a aproximação do ponto de sela? e pesquise neste site. $$K_Y(t)=\E e^{tY} = \E e^{t\log X}=\E e^{\log (X^t)}=\E X^t =M_X(y)$$ $X$$Y$$X$