Essa é uma maneira válida de construir um intervalo de confiança?

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A regra dos três afirma que, se observarmos como 0, então é um intervalo de confiança de 95% para . Estou confuso sobre a derivação dessa regra na Wikipedia e em outros lugares. $Y\sim \text{Bin}(n,p)$ $[0,3/n]$ $p$

A Wikipedia equivale a encontrar um intervalo de confiança de 95% para encontrar todos os $p$ tais que $P_p(Y=0)\geq 0.05$ . Estou lutando para conciliar isso com meu próprio entendimento de que um intervalo de confiança de 95% é uma região aleatória $C(Y)$ tal que $P_p(C(Y)\text{ covers }p)=0.95$ para todos os $p$ .

Editar: percebi que minha pergunta era vaga (e excluí um palpite errado sobre a lógica subjacente da Wikipedia). Minha principal pergunta é: como o argumento da Wikipedia é justificado? Minha outra pergunta relacionada é: Como você verifica a probabilidade de cobertura do intervalo, considerando que ele é definido apenas para um valor possível de $Y$ ?

mathematical-statistics confidence-interval

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Hanley e Lippman-Hand (1983) apresentam algo como o seguinte argumento que fornece motivação para a regra. Tomando como fixo, . $n$ $P(X=0|p) =(1-p)^n$

Resolvendo para obtemos . O menor que mantém a probabilidade de não menor que é . $(1-p)^n \geq \alpha\,$ $p\,$ $p\geq 1-\alpha^{\frac{1}{n}}$ $p$ $0$ $\alpha$ $1-\alpha^{\frac{1}{n}}$

Agora . $\alpha^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\log{\alpha}} = 1+\frac{1}{n}\log{\alpha}+\frac12 (\frac{1}{n}\log{\alpha})^2 + ...$

Levando para a primeira ordem, obtemos . Quando , . $p\geq -\frac{1}{n}\log{\alpha}$ $\alpha=0.05$ $-\log(0.05)/n\approx 3/n$

Jovanovic e Levy (1997) melhoram isso, baseando-o mais claramente a em um argumento de IC, lançando-o como um intervalo Clopper-Pearson e obtendo o mesmo limite e, portanto, o mesmo valor aproximado superior encadernado em : $(1-p)^n=\alpha$ $p$

se é o número observado de eventos em n ensaios, o limite superior de 100% Clopper-Pearson (max-P) pode ser obtido como uma solução para $X = x$ $(1- \alpha)$

$\sum_{t = 0}^{x} (\binom{n}{t}) p^{t} (1 - p)^{t} = α$ $\sum_{t=0}^x {n\choose t}p^t (1-p)^t =\alpha$
Claramente, quando a expressão se reduz a $x = 0$ $(1- p)^n = \alpha$

Eles também discutem alguns outros argumentos.

Hanley, JA, e Lippman-Hand, A. (1983),
"Se nada der errado, está tudo bem? Interpretando zero numeradores"
Journal of the American Medical Association, 249 (13), 1743-1745.

Jovanovic, BD e Levy, PS (1997),
"Um olhar sobre a regra dos três"
The American Statistician, 51 (2), 137-139

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

A aproximação faz sentido, mas estou certo em ser cético em relação à lógica? Por exemplo, se você observar como 0, pode dizer que é um IC para porque está implícito em ?

Y \sim P o i s (λ)

$Y\sim Pois(\lambda)$

[0, - \log α]

$[0,-\log\alpha]$

1 - α

$1-\alpha$

λ

$\lambda$

P_{λ} (Y = 0) = \exp (- λ) \geq α

$P_\lambda(Y=0)=\exp(-\lambda)\geq \alpha$

Como você verá na minha segunda referência, o argumento Hanley & Lippman-Hand precisa trabalhar para ser um argumento sólido - não é um argumento sobre um intervalo - mas Jovanovic & Levy apresentam um argumento baseado em intervalo de confiança (agora adicionei mais detalhes) . Acredito que você provavelmente poderia seguir um argumento baseado em intervalos semelhante ao que Jovanovic e Levy dão para obter o vínculo que obteve com o Poisson; Eu não tentei fazê-lo, no entanto.

— Glen_b -Reinstala Monica

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Dado sucessos de tentativas, o intervalo de confiança exato (Clopper – Pearson) é tal que e $k=0$ $n$ $[p_1,p_2]$

P (K \geq k = 0 | p = p_{1}) = \frac{α}{2}

$P(K \ge k=0 \vert p=p_1)=\frac{\alpha}{2}$

P (K \leq k = 0 | p = p_{2}) = \frac{α}{2},

$P(K \le k=0 \vert p=p_2)=\frac{\alpha}{2},$

onde . Você pode calcular usando a função binomial inversa. No entanto, também é possível resolver manualmente o pois o binômio cumulativo é muito simples nesse caso especial: . Você também pode usar uma aproximação de Poisson da mesma maneira para obter . $K \sim Binomial(n,p)$ $[p_1,p_2]$ $p_i$ $(1−p)^n= \alpha$ $e^{-n \cdot p}=\alpha$

Aqui está um gráfico da aproximação em função do tamanho da amostra:

— Dimitriy V. Masterov
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