Modelo com estimador (es) admissível (s) que não são o estimador de Bayes para qualquer escolha anterior?

Todo estimador de Bayes é admissível, pelo que sei. (Questões relacionadas - 1 , 2. ) Lembro-me de meu professor mencionando uma vez durante uma palestra que, pelo menos como uma intuição grosseira, o inverso também é verdadeiro, ou seja, todo estimador admissível é o estimador de Bayes para uma escolha prévia. Ele disse que algo como "existem exceções" ou "são necessárias condições de regularidade".

Pergunta: Alguém sabe alguma coisa sobre:

• Que condições de regularidade são necessárias para o inverso, todo estimador admissível é o estimador de Bayes, para alguns, antes?
• e / ou existem (bons) contra-exemplos de modelos estatísticos nos quais estimadores (razoáveis) admissíveis não são estimadores de Bayes para qualquer escolha prévia?

Meu palpite é que qualquer contra-exemplo pode ter algo a ver com a regra de Cromwell , especificamente porque é sabido que os anteriores que violam a regra de Cromwell reduzem artificialmente o "tamanho efetivo do modelo". Portanto, se tivéssemos algum modelo para o qual, por algum motivo, todos os anteriores tivessem violado a regra de Cromwell, seria concebível que houvesse contra-exemplos (razoáveis).

Como um problema de lição de casa, tivemos que provar esse inverso em um caso muito limitado: para os priores não violando a regra de Cromwell e para um espaço finito de parâmetros. Eu acho que a restrição a um espaço de parâmetro finito não era essencial, mas apenas para nos poupar de fazer análises convexas em espaços vetoriais de dimensão infinita, uma vez que a análise funcional não foi listada como um pré-requisito para o curso. Dito isto, nem todo espaço vetorial de dimensão infinita é um espaço de Banach ao qual se aplicam generalizações de análises convexas; portanto, concebivelmente, poderíamos / ainda devemos esperar que existam contra-exemplos, mas, se existirem, também esperamos que eles tenham espaços de parâmetros infinitos.

EDIT: Com base nesta resposta , outra conjectura que tenho é que podem existir contra-exemplos para um modelo em que todos os anteriores têm risco infinito de Bayes por algum motivo - talvez um modelo de Cauchy?

Alguns resultados sobre Bayes e admissibilidade:

1. Se o risco de Bayes for finito, existe um estimador admissível de Bayes, enquanto que se o risco for infinito, não há razão para que os estimadores associados sejam admissíveis. Não consigo pensar em um caso em que todos os anteriores tenham um risco infinito de Bayes, já que o conjunto de anteriores contém massas de Dirac
2. [classe completa] Se um estimador é admissível e o conjunto de parâmetros é finito, esse estimador é Bayes$\Theta$
3. [Teorema de Blyth] Se estiver aberto, se a função de risco for contínua em e se for um limite dos estimadores de Bayes no sentido de que então o estimador é admissível$\Theta$$R(\theta,\delta)$$\theta$$\delta$ $$\lim_n\dfrac{R(\pi_n,\delta)-\min_\xi R(\pi_n,\xi)}{\pi_n(\Theta)}=0$$ $\delta$
4. [Teorema de Stein] Se o suporte da densidade de amostragem não depende de , se a função de perda for contínua e estritamente convexa em d para cada e divergir no infinito, todo estimador admissível é um limite dos estimadores de Bayes, correspondendo aos anteriores em um conjunto finito$f(\cdot|\theta)$$\theta$$L(\theta,d)$$\theta$
5. O estimador de máxima verossimilhança da média no problema médio normal, , , é admissível sob perda de erro ao quadrado, enquanto não Bayes sob perda quadrática, mas apenas Bayes generalizados$x\sim \mathcal{N}(\theta,1)$$\delta_0(x)=x$
6. [Duanmu e Roy, 2016] Para famílias exponenciais, em condições adequadas, todo estimador admissível é Bayes generalizado.
7. [Farrell, 1968] "Em problemas de teste de hipóteses estatísticas, existem exemplos de testes admissíveis que não podem ser generalizados nos procedimentos de Bayes. Embora acreditemos que o mesmo seja verdade em alguns problemas de estimativa, não temos um exemplo conclusivo de um estimador admissível. esse não é um estimador generalizado de Bayes ".

(Todas as declarações, exceto 6, estão disponíveis no meu livro , assim como as de Jim Berger e Peter Hoff .)

Após aprofundar, encontrei esses dois exercícios nos Fundamentos das famílias estatísticas exponenciais de Larry Brown :