Princípios gerais para estender o sistema Elo a jogos nos quais a margem de vitória é importante

Nota

Sou usuário iniciante deste site e não sei ao certo o que determina a abrangência de uma pergunta. Limitei conscientemente a questão a princípios gerais, a fim de evitar que ela fosse muito ampla (pedindo exemplos etc.).

No entanto, se for muito amplo, informe-me nos comentários e sugira como reduzi-lo.

A questão

Estou ciente (através do xadrez) do sistema de classificação Elo e de como ele funciona. Basicamente, se você conhece as classificações de dois jogadores, pode calcular a pontuação esperada de ambos e ajustar as classificações com base na pontuação real.

No entanto, eu queria saber como esse sistema é adaptado para funcionar em jogos nos quais a margem de vitória é importante.

Especificamente, eu queria saber como o sistema de classificação pode ser estendido para que se possa calcular não apenas a pontuação esperada, mas também a margem esperada de vitória ou derrota das classificações de dois jogadores / equipes.

Eu também esperaria que o sistema levasse em consideração a pontuação real e a margem de vitória real ao ajustar as classificações após uma partida.

Um exemplo hipotético

Os detalhes reais não precisam ser os mesmos que menciono aqui, mas a ideia geral é a seguinte:

Considere um sistema de classificação em que Chelsea e Man City tenham classificações de 2000 e 2100. Estou procurando um sistema de classificação que não apenas preveja a pontuação (em torno de 0,64 para a City), mas também a margem de vitória.

Considerando que a classificação de alguma forma nos dá uma margem esperada de +3,2 para o Manchester City e a equipe vence por 2-0, eu também esperaria que o sistema reduzisse a classificação do City por não vencer por uma margem grande o suficiente.

Mas me pergunto se duas variáveis ( pontuação esperada e margem de vitória esperada ) são necessárias ou apenas uma ( pontuação esperada ) faz o trabalho.

Em resumo

Quais são os princípios e métodos gerais envolvidos para estender o sistema de classificação Elo a jogos em que a margem de vitória é importante?

rating

— Harry Weasley
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Respostas:

Uma versão simples do ELO pode ser convertida como uma regressão logística: para jogadores com classificações , $i,j$ $R_i,R_j$

P (i beats j) = \frac{1}{1 + \exp (β (R_{i} - R_{j}))} .

$P(i\mbox{ beats }j)=\frac{1}{1+\exp(\beta(R_i-R_j))}.$

Assim, você poderia facilmente prever a pontuação usando uma função de link diferente, por exemplo, um lorentziano ou gaussiano:

P (Game score = x) = a \exp (- α | β (R_{i} - R_{j}) - x |^{γ})

$P(\mbox{Game score}=x)=a\exp(-\alpha|\beta(R_i-R_j)-x|^\gamma)$ ,

onde a pontuação do jogo pode ser positiva (a favor de ) ou negativa (a favor de ). Portanto, você não precisa calcular a probabilidade de vencer e apenas otimizar diretamente a pontuação do jogo. $i$ $j$

— Alex R.
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Isso parece promissor. Pensei em algo semelhante, onde a margem esperada de vitória é dada por e é a pontuação esperada, calculada como de costume . Em seguida, , em que é a margem real da vitória. As constantes e podem, eu acho, ser obtidas por alguma experimentação.

m_{e}

$m_e$

m_{e} = A (2 S_{e} - 1)

$m_e=A({2S_e}-1)$

S_{e}

$S_e$

(S_{e} = \frac{1}{1 + 10^{\frac{- d_{R}}{400}}})

$\left(S_e=\frac{1}{1+10^\frac{-d_R}{400}}\right)$

Δ R = K (m_{a} - m_{e})

$\Delta R=K(m_a-m_e)$

m_{a}

$m_a$

A

$A$

K

$K$

— Harry Weasley

Você poderia editar sua resposta para elaborar um pouco sobre como as classificações são atualizadas quando o resultado do jogo é conhecido? Não tenho certeza se entendo completamente.

— Harry Weasley

@HarryWeasley: A maneira mais direta de atualizar o resultado para jogadores com um novo ponto de dados é recalcular atualizando a função de perda, através da descida gradiente.

(i, j)

$(i,j)$

R_{i}, R_{j}

$R_i,R_j$

— Alex R.

Desculpe por ser tão incômodo, mas não sou especialista e não entendi muito bem alguns dos termos (especialmente 'função de perda' e 'descida gradiente') que você usou em seu último comentário. Você poderia reformular o mesmo em termos mais simples? :)

— Harry Weasley

@AlexR. qual é a função representada por β?

— user160104

Existem alguns trabalhos que pretendem incluir a margem de vitória no sistema de classificação (por exemplo, FiveThirtyEight para NFL), mas geralmente os sistemas de classificação (por exemplo , Elo , Glicko ou nossa classificação - aqui está uma comparação ) não incorporam a margem de vitória.

Na maioria dos esportes / jogos, a margem de vitória não é significativa . No xadrez, o objetivo é fazer xeque-mate do rei do seu oponente (e não importa quantas peças você e seu oponente tenham no tabuleiro quando conseguir fazer isso), no basquete - como na maioria dos esportes -, ganhando 89-60 , ou 86-85, ou 90-23, dá à equipe apenas uma vitória (e a pontuação não importa - exceto o desempate na maioria das vezes não utilizado) e assim por diante.

Considere um sistema de classificação em que Chelsea e Man City tenham classificações 2000 e 2100. Estou procurando um sistema de classificação que não apenas preveja a pontuação (em torno de 0,64 para a City), mas também a margem de vitória. Considerando que a classificação de alguma forma nos dá uma margem esperada de +3,2 para o Manchester City, e a equipe vence por 2-0, eu também esperaria que o sistema reduzisse a classificação do City por não vencer por uma margem grande o suficiente.

Ao contrário do rugby, no qual você recebe um (pequeno) bônus se marcar mais de 4 tentativas, no futebol City obtém os mesmos 3 pontos, mesmo que ganhe 8-0 (e provavelmente, enquanto lidera por 4-0, o técnico do City quer seus melhores jogadores descansar para os próximos jogos ...). A margem de vitória pode ser significativa (mostrando que há uma grande diferença entre as equipes), mas também não , por muitas razões. E, em uma estrutura em que o objetivo está vencendo (não importa o placar), não é uma boa ideia criar um sistema de classificação que recompense uma grande vitória 'inusitada' (3 pontos no ranking do campeonato) e subtraia pontos por 1. -0 vitória com a última equipe no ranking (mesmos 3 pontos!).

Eventualmente, você pode, de alguma forma, recompensar uma vitória maior que o esperado , mas não pode "punir" um time por não vencer por uma margem grande o suficiente . Eles venceram, então eles fizeram o seu trabalho.

Certamente, existem (poucos) jogos nos quais a margem de vitória é importante , mas o futebol (e quase todos os esportes, ambos com rodadas ou colchetes) não está nesta lista.

— Tomaso Neri
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Obrigado pela sua resposta (+1)! Achei bastante informativo e gostei da ideia do algoritmo ree. Embora eu concorde que a margem seja insignificante em muitos jogos, minha pergunta foi sobre os jogos nos quais realmente importa.

— Harry Weasley

De nada! No ranking, você pode gerenciar facilmente esse problema (por exemplo, incorporando margem de vitória) usando o recurso de peso (por exemplo, peso normal para partidas com margem normal, peso médio para margem baixa, peso pesado para margem alta), recompensas de ponto de sintonia (que serão sempre entregue ao vencedor).

— Tomaso Neri