Como você usa o algoritmo EM para calcular MLEs para uma formulação de variável latente de um modelo de Poisson inflado com zero?

O modelo de regressão de Poisson inflado com zero é definido para uma amostra por e assume ainda que os parâmetros e atendem $(y_1,\ldots,y_n)$

Y_{i} = {\begin{cases} 0 & with probability p_{i} + (1 - p_{i}) e^{- λ_{i}} \\ k & with probability (1 - p_{i}) e^{- λ_{i}} λ_{i}^{k} / k! \end{cases}

$Y_i = \begin{cases} 0 & \text{with probability} \ p_i+(1-p_i)e^{-\lambda_i}\\ k & \text{with probability} \ (1-p_i)e^{-\lambda_i} \lambda_{i}^{k}/k! \end{cases}$

λ = (λ_{1}, \dots, λ_{n})

$\mathbf{\lambda} = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)$

p = (p_{1}, \dots, p_{n})

$\textbf{p} = (p_1, \dots, p_n)$

\begin{aligned} \log (λ) & = B β \\ logit (p) & = \log (p / (1 - p)) = G γ . \end{aligned}

$\eqalign{ \log(\mathbf{\lambda}) &= \textbf{B} \beta \\ \text{logit}(\textbf{p}) &= \log(\textbf{p}/(1-\textbf{p})) = \textbf{G} \mathbf{\gamma}. }$

A probabilidade de log correspondente do modelo de regressão de Poisson inflado a zero é

\begin{aligned} L (γ, β; y) & = \sum_{y_{i} = 0} \log (e^{G_{i} γ} + \exp (- e^{B_{i} β})) + \sum_{y_{i} > 0} (y_{i} B_{i} β - e^{B_{i} β}) \\ - \sum_{i = 1}^{n} \log (1 + e^{G_{i} γ}) - \sum_{y_{i} > 0} \log (y_{i}!) \end{aligned}

$\eqalign{ L(\gamma,\mathbf{\beta}; \mathbf{y}) &= \sum_{y_i=0} \log(e^{G_i \gamma}+\exp(-e^{\textbf{B}_i \mathbf{\beta}})) +\sum_{y_i >0} (y_i \textbf{B}_i \mathbf{\beta}-e^{\textbf{B}_i \mathbf{\beta}})\\ &\quad -\sum_{i=1}^{n} \log(1+e^{G_{i} \gamma})-\sum_{y_i >0} \log(y_{i}!)}$

Aqui, e são as matrizes de design. Essas matrizes podem ser as mesmas, dependendo dos recursos que se deseja usar para os dois processos geradores. Eles têm o mesmo número de linhas, no entanto. $\mathrm{B}$ $\mathrm{G}$

Supondo que pudéssemos observar quando é do estado perfeito, zero e quando é do estado de Poisson, a probabilidade de log seria $Z_i = 1$ $Y_i$ $Z_i = 0$ $Y_i$

L (γ, β; y, z) = \sum_{i = 1}^{n} \log (f (z_{i} | γ)) + \sum_{i = 1}^{n} \log (f (y_{i} | z_{i}, β))

$L(\gamma,\mathbf{\beta}; \mathbf{y}, \mathbf{z}) = \sum_{i=1}^{n} \log(f(z_i|\mathbf{\gamma}))+\sum_{i=1}^{n} \log(f(y_i|z_i, \mathbf{\beta}))$

= \sum_{i = 1}^{n} z_{i} (G_{i} γ - \log (1 + e^{G_{i} γ})) + - \sum_{i = 1}^{n} (1 - z_{i}) \log (1 + e^{G_{i} γ}) + \sum_{i = 1}^{n} (1 - z_{i}) [y_{i} B_{i} β - e^{B_{i} β} - \log (y_{i}!)]

$= \sum_{i=1}^{n} z_{i} (\textbf{G}_i \gamma-\log(1+e^{G_{i} \gamma}))+ -\sum_{i=1}^{n} (1-z_{i})\log(1+e^{G_{i} \gamma})+ \sum_{i=1}^{n} (1-z_i)[y_{i} \textbf{B}_i \beta-e^{\textbf{B}_i \beta} - \log(y_{i}!)]$ Os dois primeiros termos são a perda em uma regressão logística para separar de . O segundo termo é uma regressão aos pontos gerados pelo processo de Poisson.

z_{i} = 0

$z_i=0$

z_{i} = 1

$z_i=1$

Mas as variáveis latentes não são observáveis? O objetivo é maximizar a primeira probabilidade de log. Mas temos que introduzir variáveis latentes e derivar uma nova probabilidade de log. Em seguida, usando o algoritmo EM, podemos maximizar a segunda probabilidade de log. Mas isso pressupõe que sabemos que ou ? $Z_i = 0$ $Z_i = 1$

— Damien
fonte

O que é ? Além disso, grande parte dessa questão parece ser amplamente recortada e colada de uma pergunta anterior diferente do @Robby. Isso é você?

f

$f$

— Macro

@ Macro: Macro sim, sou eu. Não tenho certeza do que é . O jornal nunca disse.

f

$f$

— Damien

A raiz da dificuldade que você está tendo está na frase:

Em seguida, usando o algoritmo EM, podemos maximizar a segunda probabilidade de log.

Como você observou, você não pode. Em vez disso, o que você maximiza é o valor esperado da segunda probabilidade de log (conhecida como "probabilidade completa do log de dados"), em que o valor esperado é assumido sobre o . $z_i$

Isso leva a um procedimento iterativo, onde na iteração você calcula os valores esperados de considerando as estimativas de parâmetro da iteração ( (conhecida como "E-step ",) substitua-os na probabilidade completa do log de dados (consulte EDIT abaixo para saber por que podemos fazer isso neste caso) e maximize isso em relação aos parâmetros para obter as estimativas para a iteração atual (a" etapa M " .) $k^{th}$ $z_i$ $(k-1)^{th}$

O log probabilidade-de dados completa para o Poisson zero inflado no caso mais simples - dois parâmetros, dizer e - permite simplificar de forma significativa quando se trata de o M-passo, e isso leva por cima de alguma forma ao seu formulário. Vou mostrar como isso funciona no caso simples, através de um código R, para que você possa ver a essência dele. Não simplificarei o máximo possível, pois isso pode causar uma perda de clareza quando você pensa no seu problema: $\lambda$ $p$

# Generate data
# Lambda = 1,  p(zero) = 0.1
x <- rpois(10000,1)
x[1:1000] <- 0

# Sufficient statistic for the ZIP
sum.x <- sum(x)

# (Poor) starting values for parameter estimates
phat <- 0.5
lhat <- 2.0

zhat <- rep(0,length(x))
for (i in 1:100) {
  # zhat[x>0] <- 0 always, so no need to make the assignment at every iteration
  zhat[x==0] <- phat/(phat +  (1-phat)*exp(-lhat))

  lhat <- sum.x/sum(1-zhat) # in effect, removing E(# zeroes due to z=1)
  phat <- mean(zhat)   

  cat("Iteration: ",i, "  lhat: ",lhat, "  phat: ", phat,"\n")
}

Iteration:  1   lhat:  1.443948   phat:  0.3792712 
Iteration:  2   lhat:  1.300164   phat:  0.3106252 
Iteration:  3   lhat:  1.225007   phat:  0.268331 
...
Iteration:  99   lhat:  0.9883329   phat:  0.09311933 
Iteration:  100   lhat:  0.9883194   phat:  0.09310694

No seu caso, em cada etapa, você fará uma regressão de Poisson ponderada em que os pesos devem 1-zhatobter as estimativas de e, portanto, e, em seguida, maximizar: $\beta$ $\lambda_i$

$\sum (\mathbb{E}z_i\log{p_i} + (1-\mathbb{E}z_i)\log{(1-p_i)})$

com relação ao vetor de coeficiente da sua matriz para obter as estimativas de . Os valores esperados , calculados novamente a cada iteração. $\mathbf{G}$ $p_i$ $\mathbb{E}z_i = p_i/(p_i+(1-p_i)\exp{(-\lambda_i)})$

Se você deseja fazer isso com dados reais, em vez de apenas entender o algoritmo, já existem pacotes R; aqui está um exemplo http://www.ats.ucla.edu/stat/r/dae/zipoisson.htm usando a psclbiblioteca.

EDIT: Devo enfatizar que o que estamos fazendo é maximizar o valor esperado da probabilidade do log de dados completos, NÃO maximizar a probabilidade do log de dados completos com os valores esperados dos dados ausentes / variáveis latentes plugados. Como acontece, se a probabilidade do log de dados completos é linear nos dados ausentes, como aqui, as duas abordagens são iguais, mas, caso contrário, não são.

— jbowman
fonte

@Cokes, você deve adicionar essas informações como sua própria resposta suplementar, não alterar uma resposta existente. Esta edição não deveria ter sido aprovada.

— gung - Reintegrar Monica