Operações trigonométricas em desvios padrão

Adição, subtração, multiplicação e divisão de variáveis aleatórias normais estão bem definidas, mas e as operações trigonométricas?

Por exemplo, suponhamos que estou tentando encontrar o ângulo de uma cunha triangular (modelada como um triângulo de ângulo reto) com os dois catetos com as dimensões $d_1$ e , ambos descritos como distribuições normais. $d_2$

Tanto a intuição quanto a simulação me dizem que a distribuição resultante é normal, com média . Mas existe uma maneira de calcular a distribuição do ângulo resultante? Referências sobre onde eu encontraria a resposta? $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$

(Para um pouco de contexto, estou trabalhando na tolerância estatística de peças mecânicas. Meu primeiro impulso seria simplesmente simular todo o processo, verificar se o resultado final é razoavelmente normal e calcular o desvio padrão. Mas estou pensando se houver uma abordagem analítica mais clara.)

— Bossykena
fonte

Você poderia confirmar que (a) d1 e d2 são os comprimentos laterais (e não os ângulos); (b) que você está assumindo que o ângulo entre eles é um ângulo reto (caso contrário, a fórmula atan é suspeita); e (c) que você está interessado na distribuição de um dos outros ângulos deste triângulo retângulo? Além disso, presumivelmente, o DP de cada distribuição de comprimento é muito menor que a expectativa, porque o triângulo não deve ter nenhuma probabilidade apreciável de um comprimento lateral negativo :-).

— whuber

Exato. Eu reformulei o problema para torná-lo um pouco mais claro. E sim, o SD será pequeno em relação às dimensões.

— Bossykena 30/09/10

Usando fórmulas para multiplicação e adição, você pode tentar a expansão de Taylor.

Obrigado por suas excelentes respostas, que (até onde posso dizer com meu conhecimento limitado em estatísticas) são intuitivas e válidas.

— Bossykena 1/10/10

Respostas:

Nesta interpretação, o triângulo é um triângulo retângulo de comprimentos laterais e distribuídos binormalmente com expectativas e , desvios padrão e e correlação . Buscamos a distribuição de . Para esse fim, padronize e para que $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

com e variáveis normais padrão com correlação . Seja um ângulo e, por conveniência, escreva . Então $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

O lado esquerdo, sendo uma combinação linear de normais, é normal, com média e variação . $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

A diferenciação do cdf normal desses parâmetros em relação a produz o pdf do ângulo. A expressão é bastante pavorosa, mas uma parte importante é a exponencial $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

mostrando imediatamente que o ângulo não é normalmente distribuído. No entanto, como as simulações mostram e a intuição sugere, deve ser aproximadamente normal, desde que as variações dos comprimentos laterais sejam pequenas em comparação com os comprimentos propriamente ditos. Nesse caso, uma aproximação do ponto de sela deve produzir bons resultados para valores específicos de , , , e , mesmo que uma solução geral de forma fechada não esteja disponível. O desvio padrão aproximado será eliminado logo após encontrar a segunda derivada (com relação a $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) do logaritmo do pdf (como mostrado nas equações (2.6) e (3.1) da referência). Eu recomendo um sistema de álgebra computacional (como MatLab ou Mathematica) para realizar isso!

— whuber
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Nunca houve chance de distribuição normal. É um ângulo! Leva apenas valores em

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— Robby McKilliam

P (Y / X

q) = P (Y

qX) não está correto se X é um rv normal - X também pode ser negativo.

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— Ronaf 1/10/10

@ronaf: na verdade, já que

são os comprimentos laterais de um triângulo física, devemos não têm negativo

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— Shabbychef

@ronaf: Essa é a ideia certa. Se alguém usa comprimentos laterais assinados e também considera o ângulo como um valor real (em vez de seu valor módulo

), não há inconsistência com a normalidade em nenhum dos casos. Seu ponto de vista sobre a desigualdade possivelmente estar errada é excelente. Tudo o que posso fazer em resposta é afirmar que a equação é uma excelente aproximação sob as suposições feitas, porque a chance de X ou Y ser negativo é desprezível.

2 π

$2\pi$

— whuber

@YBE Concordo que o último "+" na minha expressão parece não pertencer - ele pode ter surgido quando eu estava limpando a marcação TeX. Eu não tenho uma referência porque eu mesmo calculei a derivada.

— whuber

Você está olhando para estatísticas circulares e, em particular, uma distribuição circular chamada distribuição normal projetada .

Por alguma razão, esse tópico pode ser um pouco difícil de pesquisar no Google, mas os dois principais textos sobre estatística circular são The Statistical Analysis of Circular Data by Fisher e Directional Statistics por Mardia e Jupp.

Para uma análise completa da distribuição normal projetada, consulte a página 46 de Mardia e Jupp. Existem expressões de formulário fechado (até a integral da função de erro) para a distribuição e, como sugeriu o whuber, ele se parece com o normal quando sua `variância '(cuidado aqui, o que significa variância para uma variável aleatória em um círculo? !) é pequeno, ou seja, quando a distribuição está bastante concentrada em um ponto (ou direção ou ângulo).

— Robby McKilliam
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