Um estimador de densidade do kernel (KDE) produz uma distribuição que é uma mistura local da distribuição do kernel, portanto, para extrair um valor da estimativa de densidade do kernel, tudo o que você precisa fazer é: (1) extrair um valor da densidade do kernel e, em seguida, (2) selecione independentemente um dos pontos de dados aleatoriamente e adicione seu valor ao resultado de (1).
Aqui está o resultado desse procedimento aplicado a um conjunto de dados como o da pergunta.
O histograma à esquerda mostra a amostra. Para referência, a curva preta representa a densidade a partir da qual a amostra foi retirada. A curva vermelha representa o KDE da amostra (usando uma largura de banda estreita). (Não é um problema, ou mesmo inesperado, que os picos vermelhos sejam mais curtos que os pretos: o KDE espalha as coisas para que os picos fiquem mais baixos para compensar.)
O histograma à direita mostra uma amostra (do mesmo tamanho) do KDE. As curvas em preto e vermelho são as mesmas de antes.
Evidentemente, o procedimento usado para amostrar a partir da densidade funciona. Também é extremamente rápido: a Rimplementação abaixo gera milhões de valores por segundo a partir de qualquer KDE. Eu comentei bastante para ajudar na portabilidade para Python ou outras linguagens. O próprio algoritmo de amostragem é implementado na função rdenscom as linhas
rkernel <- function(n) rnorm(n, sd=width)
sample(x, n, replace=TRUE) + rkernel(n)
rkerneldesenha namostras de iid da função kernel enquanto sampledesenha namostras com substituição dos dados x. O operador "+" adiciona as duas matrizes de amostras componente por componente.
KFKx =( x1 1, x2, … , Xn)
Fx^;K( x ) = 1n∑i = 1nFK( x - xEu) .
XxEu1 / nEuYX+ YxX
FX+ Y( X )= Pr ( X+ Y≤ x )= ∑i = 1nPr ( X+ Y≤ x ∣ X= xEu) Pr ( X= xEu)= ∑i = 1nPr ( xEu+ Y≤ x ) 1n= 1n∑i = 1nPr ( Y≤ x - xEu)= 1n∑i = 1nFK( x - xEu)= Fx^;K( X ) ,
como reivindicado.
#
# Define a function to sample from the density.
# This one implements only a Gaussian kernel.
#
rdens <- function(n, density=z, data=x, kernel="gaussian") {
width <- z$bw # Kernel width
rkernel <- function(n) rnorm(n, sd=width) # Kernel sampler
sample(x, n, replace=TRUE) + rkernel(n) # Here's the entire algorithm
}
#
# Create data.
# `dx` is the density function, used later for plotting.
#
n <- 100
set.seed(17)
x <- c(rnorm(n), rnorm(n, 4, 1/4), rnorm(n, 8, 1/4))
dx <- function(x) (dnorm(x) + dnorm(x, 4, 1/4) + dnorm(x, 8, 1/4))/3
#
# Compute a kernel density estimate.
# It returns a kernel width in $bw as well as $x and $y vectors for plotting.
#
z <- density(x, bw=0.15, kernel="gaussian")
#
# Sample from the KDE.
#
system.time(y <- rdens(3*n, z, x)) # Millions per second
#
# Plot the sample.
#
h.density <- hist(y, breaks=60, plot=FALSE)
#
# Plot the KDE for comparison.
#
h.sample <- hist(x, breaks=h.density$breaks, plot=FALSE)
#
# Display the plots side by side.
#
histograms <- list(Sample=h.sample, Density=h.density)
y.max <- max(h.density$density) * 1.25
par(mfrow=c(1,2))
for (s in names(histograms)) {
h <- histograms[[s]]
plot(h, freq=FALSE, ylim=c(0, y.max), col="#f0f0f0", border="Gray",
main=paste("Histogram of", s))
curve(dx(x), add=TRUE, col="Black", lwd=2, n=501) # Underlying distribution
lines(z$x, z$y, col="Red", lwd=2) # KDE of data
}
par(mfrow=c(1,1))
