Se tiver uma distribuição log-normal, também terá uma distribuição log-normal?

Digamos que tenha uma distribuição log-normal e haja um número positivo real . então é correto dizer que também tem alguma distribuição log-normal? Meu sentimento é que, não pode ser, porque pode assumir um valor negativo, enquanto uma distribuição log-normal é definida apenas no domínio positivo. Alguém pode refutar isso?c ( X - c ) ( X - c $X$$c$$(X -c)$$(X - c)$

A resposta para sua pergunta é (essencialmente) não e seu argumento tem a idéia certa. Abaixo, formalizamos um pouco. (Para obter uma explicação da ressalva acima, consulte o comentário do @ whuber abaixo.)

Se tem uma distribuição lognormal, isso significa que tem uma distribuição normal. Outra maneira de dizer isso é que onde tem uma distribuição para alguns . Observe que, por construção , isso implica que com probabilidade um.log ( X ) X = e Z Z N ( μ , σ 2 ) μ ∈ R , σ 2 > 0 X ≥ $X$$\log(X)$$X = e^{Z}$$Z$$N(\mu, \sigma^2)$$\mu \in \mathbb{R}, \sigma^2 >0$$X \geq 0$

Agora, não pode ter uma distribuição lognormal porque$X-c = e^Z - c$

o que é estritamente positivo para qualquer . Portanto, tem uma probabilidade positiva de assumir valores negativos, o que impede que seja distribuído normalmente.e Z - c e Z - $c > 0$$e^Z - c$$e^Z - c$

Em resumo, a distribuição lognormal não é fechada sob subtração de uma constante positiva. É, no entanto, fechado sob multiplicação por uma constante (positiva), mas essa é uma questão totalmente diferente.