O limite da distribuição beta-binomial é binomial

Estou tentando entender a relação entre o beta-binomial e a distribuição binomial. Mais especificamente, estou tentando mostrar que o limite da distribuição beta-binomial, com é binomial quando vai para o infinito. Estou tendo problemas para mostrá-lo. Qualquer dica útil seria muito útil. $p=a/(a+b)$ $a+b$

Para isso, acredito que devo usar o limite da função $\text{beta}(a,b)$ como $a+b$ para o infinito. Isso existe? De acordo com uma resposta abaixo, isso não existe. Também hesito em usar o MGF, pois parece desagradável.

distributions beta-distribution beta-binomial

— DanRoDuq
fonte

O MGF (ou melhor, o CF) não é tão desagradável quanto pode parecer: é uma função hipergeométrica, o que significa que sua série de potências tem uma boa forma. No entanto, você pode aplicar a aproximação de Stirling à função Gamma para mostrar diretamente que a função de massa de probabilidade converge para a distribuição binomial.

— whuber

Estou tentando através da fórmula de sterling. Para B (a, b), pareço entender algo sensato. No entanto, para B (k + a, n-k + b), não vejo como isso ajuda.

— DanRoDuq 10/01

Existem pelo menos duas maneiras de ver isso.

A interpretação da distribuição da urna pode ser mostrada como

A distribuição beta-binomial também pode ser motivada por meio de um modelo de urna para valores inteiros positivos de e , conhecido como modelo de urna Polya. Especificamente, imagine uma urna contendo red balls e black balls, onde são feitos sorteios aleatórios. Se uma bola vermelha é observada, duas bolas vermelhas são devolvidas à urna. Da mesma forma, se uma bola preta é sacada, duas bolas pretas são devolvidas à urna. Se isso for repetido vezes, a probabilidade de observar k bolas vermelhas segue uma distribuição beta-binomial com os parâmetros , e . $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $n$ $n$ $\alpha$ $\beta$

No entanto, se for desprezível em comparação com o número de bolas na urna, adicionar algumas bolas de volta às urnas faz diferença insignificante para o próximo sorteio. Daqui resulta que a distribuição é simplesmente aquela do desenho com substituição, que é binomial. $n$

Do ponto de vista algébrico, a distribuição é

(\binom{n}{k}) \frac{B (k + α, n - k + β)}{B (α, β)} .

${n \choose k} \frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} .$

Pelas propriedades da função Beta

B (x + 1, y) = B (x, y) \frac{x}{x + y}, B (x, y + 1) = B (x, y) \frac{y}{x + y}

$B(x + 1, y) = B(x, y) \frac{x}{x + y}, \\ B(x, y + 1) = B(x, y) \frac{y}{x + y}$

Especificamente,

B (i + α, n - k + β) = B (i - 1 + α, n - k + β) \frac{i - 1 + α}{i - 1 + n - k + α + β},

$B(i + \alpha, n - k + \beta) = B(i - 1 + \alpha, n - k + \beta) \frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta},$

e para , levando em consideração a série de Taylor : $\alpha, \beta$ $\frac{1}{1 + x}$

\frac{i - 1 + α}{i - 1 + n - k + α + β} = \frac{i - 1 + α}{α} \frac{α}{(α + β) (1 + \frac{i - 1 + n - k}{α + β})} \sim \frac{i - 1 + α}{α} \frac{α}{(α + β)} (1 - \frac{i - 1 + n - k}{α + β}) \sim \frac{α}{(α + β)} .

$\frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta} = \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta) \left(1 + \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right)} \sim \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} \left(1 - \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right) \sim \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} .$

Continuando isso,

\frac{B (k + α, n - k + β)}{B (α, β)} \sim \frac{B (α, β)}{B (α, β)} {(\frac{α}{α + β})}^{k} {(\frac{β}{α + β})}^{n - k},

$\frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} \sim \frac{B(\alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)} \left( \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\right)^k \left( \frac{\beta}{\alpha + \beta} \right)^{n - k} ,$ e a distribuição é aproximadamente binomial.

— Ami Tavory
fonte

Acho que estou tendo um problema com isso. Embora, para grandes e grandes a aproximação acima faça sentido intuitivamente, realmente para o limite convergir, deveríamos ter a condição de que . Com isso em mente, estou tendo problemas para justificar formalmente a última aproximação. Por exemplo, como posso mostrar que tende a p.

α

$\alpha$

β

$\beta$

p = α / (α + β)

$p=\alpha/(\alpha+\beta)$

(α + k) / (α + k + β)

$(\alpha+k)/(\alpha+k+\beta)$

— DanRoDuq

@DanRoDuq Expandi isso um pouco na resposta.

— Ami Tavory