Probabilidades condicionais - elas são exclusivas do bayesianismo?

Eu me pergunto se as probabilidades condicionais são exclusivas do bayesianismo, ou se são mais um conceito geral que é compartilhado entre várias escolas de pensamento entre estatistas / probabilidades.

Eu meio que suponho que sim, porque eu assumo que ninguém pode é meio lógico, então eu acho que os freqüentadores concordariam pelo menos teoricamente, enquanto advertiam contra os bayesianos inferência mais por razões práticas, e não por probabilidades condicionais.$p(A,B) = p(A|B)p(B)$

Para acumular outras respostas e perfeitamente adequadas, exemplos de modelos de probabilidade condicional abundam em modelos lineares e lineares generalizados, pois a definição de tais modelos depende dos regressores ou covariáveis:

$$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$$

E a noção de distribuição de probabilidade condicional é definida na teoria da medida sem referência à estatística e muito menos ao "bayesianismo". Por exemplo, Rényi construiu uma teoria das probabilidades a partir de versões condicionais. Observe também que, na teoria formal das medidas, o condicionamento se refere a um -field e não a um evento. A expectativa condicional é então uma função mensurável por , tal que para todos mensurável funções . (Como ilustrado pelo conceito de martingales$\sigma$$\mathfrak{S}$ S E S { [ X - E [ X | S ] Z } = 0 S$\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$$\mathfrak{S}$

$$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$$ $\mathfrak{S}$$Z$.)

Como em toda teoria das probabilidades , a probabilidade condicional não tem nada a ver com as estatísticas bayesianas versus freqüentistas. Mesmo o teorema de Bayes não é “bayesiano”, mas é um teorema geral sobre probabilidade, por exemplo, pode ser usado para corrigir probabilidades para a taxa base , sem prévios ou interpretações bayesianas subjetivas para probabilidade .

Se você perguntar "qual é a probabilidade de conseguir o emprego de engenheiro de banco de dados, dado que você é mulher?" Ou "qual é a probabilidade de você ter HIV, dado que o teste de Western blot foi positivo?", Então você pergunta sobre condicional probabilidades. Modelos de regressão logística probabilidade condicional, etc.

Veja também Existe alguma base * matemática * para o debate bayesiano x freqüentista? Interpretações de Probabilidade entre Bayesiana e Frequentista

Os métodos freqüentistas também usam probabilidades condicionais. Um valor-p é uma probabilidade condicional. A única questão é que não é uma probabilidade condicional muito útil ou intuitiva. Se calcularmos um coeficiente de correlação e nossa máquina cuspir "p = 0,03", o que realmente está dizendo é:

$p(D^*|H_0) = .03$

Onde se refere aos dados observados ou mais extremos (isto é, dados que produzem o resultado observado ou um resultado mais forte na mesma direção) e é a hipótese nula (e todas as suposições que o acompanham).H $D^*$$H_0$

Com base na hipótese nula, a probabilidade de observarmos nossos dados ou dados mais extremos é 0,03. Essa é uma probabilidade condicional completamente ausente do teorema de Bayes. Na minha opinião, geralmente não é tão útil (a menos que você esteja realmente tentando obter essa probabilidade por algum motivo ou outro).

Não acho justo dizer que probabilidades condicionais são exclusivas do bayesianismo.

(Especialistas em teoria das medidas, sinta-se à vontade para me corrigir.)

Uma maneira de exibir uma probabilidade condicional - principalmente quando você tem resultados igualmente prováveis ​​- é basear seu cálculo de probabilidade em um subconjunto , onde é o espaço de amostra.$\Omega^{\prime} \subset \Omega$$\Omega$

Por exemplo, considere alguns dados fictícios coletados (NB: não temos informações "anteriores") em uma pesquisa:

ΩP:A→[0,1]Aσ

$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$$ Vamos supor que a probabilidade de escolher qualquer pessoa pesquisada acima seja igualmente provável. Considere o espaço de amostra de todas as pessoas pesquisadas e deixe , onde é uma álgebra -vazia de subconjuntos de .$\Omega$$\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$$\mathcal{A}$$\sigma$$\Omega$

Por definição de um evento igualmente provável, para qualquer evento , queindica cardinalidade definida.$A \in \mathcal{A}$

$$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ $|\cdot|$

Se estivéssemos interessados, digamos, na probabilidade de possuir uma TV, uma vez que você é uma mulher, deixando ser o evento de ser uma mulher e sendo o evento de possuir uma TV, calcularíamos a probabilidade como e estamos tratando como nosso novo espaço amostral . Mas observe que podemos escrever Essa é precisamente a definição de probabilidade condicional e não usa o teorema de Bayes. Tudo o que estamos fazendo é restringir nosso espaço de amostra.$A$$B$

$$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$$ $A$$\Omega^{\prime} = A$ $$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$$

Estou um pouco atrasado para essa festa em particular, mas achei que acrescentaria uma resposta mais filosófica às outras excelentes respostas aqui, caso isso possa ser útil para futuros pesquisadores.

Se você é um freqüentador hipotético, a definição de probabilidade condicional segue a lei de limites para divisão. Explicitamente, seja o número de vezes que é verdadeira em tentativas e seja o número de vezes que é verdadeira em tentativas. Nós definimos e Finalmente, seja a fração das vezes que é verdadeiro que também é verdadeiro, no limite infinito: $f_N (A \land E)$$A\land E$$N$$f_N (E)$$E$$N$

$$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$$ $$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$$ $p(A | E )$$E$$A$ $$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$$ Supondo que seja diferente de zero, temos $p(E)$ $$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$$