Se eu tiver um vetor de

Meu objetivo final é ser capaz de gerar um vetor de tamanho de variáveis aleatórias correlacionadas de Bernoulli. Uma maneira de fazer isso é usar a abordagem Gaussian Coupla. No entanto, a abordagem Gaussian Coupla apenas me deixa com um vetor: $N$

(p_{1}, \dots, p_{N}) \in [0, 1]^{N}

$(p_1, \ldots, p_N) \in [0,1]^N$

Suponha que eu tenha gerado modo que a correlação comum entre eles seja . Agora, como posso transformá-los em um novo vetor de ou 's? Em outras palavras, eu gostaria de: $(p_1, \ldots, p_N)$ $\rho$ $0$ $1$

(X_{1}, \dots, X_{N}) \in {0, 1}^{N}

$(X_1, \ldots, X_N) \in \{0,1\}^N$

mas com a mesma correlação . $\rho$

Uma abordagem que pensei foi atribuir uma regra de corte rígido, de modo que se , então deixe e se , então deixe . $p_i < 0.5$ $X_i = 0$ $p_i \geq 0.5$ $X_i = 1$

Isso parece funcionar bem em simulações, pois mantém a estrutura de correlação, mas é muito arbitrário para mim qual valor de corte deve ser escolhido além de . $0.5$

Outra maneira é tratar cada como uma variável aleatória de Bernoulli com probabilidade de sucesso e obter uma amostra dela. No entanto, essa abordagem parece causar perda de correlação e, em vez de , posso obter ou . $X_i$ $p_i$ $\rho$ $\frac{\rho}{2}$ $\frac{\rho}{3}$

Alguém tem alguma opinião ou opinião sobre isso? Obrigado.

— user321627
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Você tem N variáveis. Por que você está falando apenas de rho único e não de uma matriz de rhos?

— ttnphns

Veja esta questão do mathoverflow

— Jakub Bartczuk

Não compreendo a Cópula Gaussiana o suficiente para saber qual é o problema. Mas eu encontrei uma maneira de gerar vetores Bernoulli correlacionados.

Seguindo https://mathoverflow.net/a/19436/105908, se usarmos um conjunto de vetores fixos e um vector aleatório na unidade de esfera , podemos transformar em binário onde . Nesta configuração, $v_1 ... v_n$ $u$ $u$ $X$ $X_i = (u \cdot v_i > 0)$ ondeé o ângulo entree. $cor(X_i,X_j) = \frac{\pi - 2 * \theta(i,j)}{\pi}$ $\theta(i,j)$ $v_i$ $v_j$

Como encontrar matriz adequada para produzir uma matriz de correlação desejada ? A condição angular é convertida em $V = |v_1 ... v_n|$ $R$ e, portanto, podemos encontrarcom decomposição de Cholesky. $VV^T = cos(-\frac{\pi R - \pi}{2})$ $V$

Um código de exemplo em R é o seguinte:

#Get a simple correlation matrix 
N = 3
cor_matrix <- matrix(c(1,0.5,0.8,0.5,1,0.3,0.8,0.3,1), N, N)

#Calculate the vectors with desired angles
vector_matrix <- chol(cos( (pi * cor_matrix - pi) * -0.5))

#You can generate random unit vectors by normalizing a vector 
#of normally distributed variables, note however that the normalization
#does not affect the sign of the dot product and so we ignore it
num_samples <- 10000
normal_rand <- matrix(rnorm(num_samples * N), num_samples, N)

#Generate the target variables
B <- (normal_rand %*% vector_matrix) > 0

#See for yourself that it works
cor(B)  
cor(B) - cor_matrix

Obrigado @ jakub-bartczuk por vincular à pergunta do MO - eu não encontraria isso sozinho.

$X_i \sim Bernoulli(0.5)$

— Martin Modrák
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V V^{T} = c o s (- \frac{π R - π}{2})

$VV^T = cos(-\frac{\pi R - \pi}{2})$

R_{i, j} = \frac{π - 2 * θ (i, j)}{π}

$R_{i,j} = \frac{\pi - 2 * \theta(i,j)}{\pi}$

θ (i, j) = a r c c o s (\frac{v_{i} . v_{j}}{| v_{i} | . | v_{j} |})

$\theta(i,j) = arccos(\frac{v_i . v_j}{|v_i|.|v_j|})$