Lambda - Interpretação exponencial vs. Poisson

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Estou tentando entender o papel do nas distribuições Poisson e exponencial e como ele é usado para encontrar probabilidades (sim, eu li o outro post sobre esse tópico, não o fez por mim). $\lambda$

O que (eu acho) eu entendo:

Distribuição de veneno -
- discreto
- $\lambda$ é definido como o número médio de sucessos (no entanto, "sucesso" é definido, dado o contexto do problema) por unidade de tempo ou espaço
- PMF: $~~P(X = k;\lambda) = \frac{ \lambda^ke^{-\lambda} }{k!}$
- $P(X\leq k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k)$
- $P(X< k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k~-~1)$
- $P(X\geq k) = 1~-~P(X<k)$
- $P(X > k) = 1~-~P(X\leq k)$
Distribuição Exponencial -
- contínuo
- $\lambda$ é definido como o tempo / espaço médio entre eventos (sucessos) que seguem uma Distribuição de Poisson
- Onde meu entendimento começa a desaparecer:
- PDF: $~~f(x; \lambda)~=~ \lambda e^{-\lambda x}$
- CDF: $P(X \leq k; \lambda)~=~1~-~e^{-\lambda x}$
- $P(X > k; \lambda) ~=~ 1 ~-~P(X \leq k; \lambda)~=~e^{-\lambda x}$

Onde eu acho que o mal-entendido está:

A partir de agora, estou assumindo que pode ser trocado entre as duas distribuições. É esse o caso? Eu li brevemente sobre "re-parametrizar" e acho que pode ser a chave, mas não sei a que esse processo está se referindo. Como faço isso e como isso afeta o PMF e o CDF da distribuição exponencial? $\lambda$

Tudo isso veio de um problema ao perguntar: Dada uma variável aleatória X que segue uma distribuição exponencial com lambda = 3, encontre P (X> 8). Minha abordagem foi , o que fornece uma probabilidade que parece muito baixa. $e^{-3*8}$

self-study poisson-distribution exponential-distribution

— Marshall McQuillen
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Suponha que eu esteja esperando um ônibus em uma parada. E suponha que um ônibus geralmente chegue à parada a cada 10 minutos. Agora defino λ como a taxa de chegada de um ônibus por minuto . Então, λ = (1/10).

Agora eu quero calcular a probabilidade de que nenhum ônibus chegue no próximo minuto. Eu posso fazer isso usando a distribuição poisson e a exponencial.

Poisson

λ = 1/10

Probabilidade de 0 chegadas no próximo minuto: P (X = 0) = 0,9048

Exponencial

λ = 1/10

Probabilidade de ter que esperar mais de um minuto: P (X> 1) = 0,9048

Nota: Veja os valores esperados de ambas as distribuições. Para Poisson, obtemos que o número médio de ônibus que chegam por minuto E (X) = λ = 0,10 ônibus. Por exponencial, o tempo médio de espera para um ônibus chegar E (X) = (1 / λ) = 10 minutos

— mohit tuteja
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O fato de ambas as distribuições usarem o mesmo parâmetro é provavelmente uma coincidência decorrente da convenção de notação. Afinal, uma variável aleatória é discreta e a outra é contínua. Eles nunca devem modelar exatamente a mesma coisa.

No entanto, às vezes não é uma coincidência. Uma instância em que esses parâmetros podem significar coisas semelhantes e em que você pode usar qualquer uma dessas distribuições na mesma tarefa de modelagem é quando você está usando um processo de Poisson . Isso seria útil em uma situação em que você está modelando coisas que chegam aleatoriamente no tempo (por exemplo, recebendo mensagens no seu celular). Digamos que você comece a medir no tempo . Corrigindo a qualquer momento , você poderia chamar o total recebido por esse tempo e assumir aqui é uma taxa medida em chamadas por unidade de tempo. $0$ $t > 0$ $N_t$

N_{t} \sim Poisson (λ t);

$N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t);$

λ

$\lambda$

Você também pode observar os tempos de espera entre os textos e assumir que aqui também é uma taxa (se você estiver escrevendo a densidade do jeito que está nesta questão). Os horários de chegada de cada mensagem de texto são as somas parciais . $X_1, X_2, \ldots$

X_{i} \overset{i i d}{\sim} Exponential (λ);

$X_i \overset{iid}{\sim} \text{Exponential}(\lambda);$

λ

$\lambda$

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$

A relação entre essas duas distribuições nessa situação específica é a seguinte: dado um número e um tempo , No caso especial em que , ambas as expressões são iguais a . $n$ $t$

P (S_{n} \leq t) = P (N_{t} \geq n) .

$P(S_n \le t) = P(N_t \ge n).$

n = t = 1

$n = t = 1$

1 - e^{- λ}

$1 - e^{-\lambda}$

— Taylor
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Então pode ser trocado entre as duas distribuições? A razão pela qual pergunto é porque, a partir dessa fonte , existe uma proposição que diz: "O número de ocorrências de um evento dentro de uma unidade de tempo tem uma distribuição Poisson com o parâmetro se o tempo decorrido entre duas ocorrências sucessivas do evento tiver uma distribuição exponencial com o parâmetro e é independente das ocorrências anteriores, "Isso me faz pensar que posso trocar entre as duas equações.

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— Marshall McQuillen

@MarshallMcQuillen é isso que eu respondi. Você pode não lambda “intercâmbio” no caso de um processo de Poisson, mas as duas variáveis aleatórias compartilhar uma fórmula para diferentes probabilidades

— Taylor

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As lambdas são intercambiáveis em certos contextos. Suponha que eu esteja medindo a radioatividade com um contador Geyger . Em um caso, significa que, em média, recebo 2 cliques por segundo, e o tempo médio entre cliques é de segundo. O número de cliques por segundo é de uma distribuição Poisson e o tempo entre cliques é de uma distribuição exponencial, com ambos tendo . $\lambda=2$ $1/2$ $\lambda=2$

— Aksakal
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Isso, da Wikipedia, resume o relacionamento de uma maneira simples?

Se para cada t> 0 o número de chegadas no intervalo de tempo [0, t] segue a distribuição de Poisson com média λt, a sequência de tempos entre chegadas é independente e variáveis aleatórias exponenciais aleatórias distribuídas identicamente com média 1 / λ.

Referência: SM Ross (2007). Introdução aos modelos de probabilidade (nona ed.). Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-598062-3 . pp. 307–308.

— Matt Wenham
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Como indicado na resposta de Taylor, existe uma conexão entre a distribuição exponencial e a distribuição de Poisson através da equivalência de certas declarações de probabilidade relacionadas a elas em um processo de Poisson. Matematicamente, essa equivalência vem de uma propriedade de recorrência da função gama incompleta, que pode ser usada para mostrar a equivalência probabilística em questão.

Em um processo de Poisson, temos eventos que ocorrem em uma taxa especificada e podemos analisar o processo observando o tempo entre os eventos ou o número de eventos em um determinado momento. Para fazer o primeiro, seja o tempo entre os eventos no processo e defina as somas parciais $\lambda > 0$ $X_1, X_2, X_3, ... \sim \text{IID Exp} (\lambda)$ $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$ , que representa o tempo necessário para a primeira $n$ eventos. Então nós temos $S_n \sim \text{Ga} (n, \lambda)$ de modo a:

\begin{aligned} P (S_{n} ⩽ t) = 1 - P (S_{n} > t) & = 1 - \int_{t}^{\infty} Ga (s | n, λ) d s \\ = 1 - \frac{λ^{n}}{Γ (n)} \int_{t}^{\infty} s^{n - 1} \exp (- λ s) d s \\ = 1 - \frac{1}{Γ (n)} \int_{t}^{\infty} (λ s)^{n - 1} \exp (- λ s) λ d s \\ = 1 - \frac{1}{Γ (n)} \int_{λ t}^{\infty} r^{n - 1} \exp (- r) d r \\ = 1 - \frac{Γ (n, λ t)}{Γ (n)} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) = 1 - \mathbb{P}(S_n >t) &= 1 - \int\limits_t^{\infty} \text{Ga} (s|n, \lambda) ds \\ &= 1-\frac{\lambda^n}{\Gamma (n) } \int\limits_t^{\infty} s^{n-1} \exp (- \lambda s) ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_t^{\infty} (\lambda s) ^{n-1} \exp (- \lambda s) \lambda ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_{\lambda t}^{\infty} r^{n-1} \exp \left( - r \right) dr \\ &= 1-\frac{\Gamma(n, \lambda t)}{\Gamma (n)}. \\ \end{aligned} \end{equation}$

Usando a integração por partes, a função gama incompleta superior segue a recorrência:

\begin{matrix} Γ (n, x) = (n - 1) Γ (n - 1, x) + x^{n - 1} \exp (- x) & Γ (1, x) = \exp (- x) . \end{matrix}

$\begin{matrix} \Gamma (n, x) = (n-1) \Gamma(n-1, x) + x^{n-1} \exp (-x) & & \Gamma (1, x) = \exp(-x). \end{matrix}$

Para o número inteiro , a aplicação repetida dessa recorrência gera: $n$

Γ (n, x) = Γ (n) \exp (- x) \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{x^{k}}{k!} .

$\Gamma (n, x) = \Gamma (n) \exp (-x) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}.$

Então, deixando temos: $N_t \sim \text{Pois} (\lambda t)$

\begin{aligned} P (S_{n} ⩽ t) & = 1 - \exp (- λ t) \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(λ t)^{k}}{k!} \\ = 1 - \sum_{k = 0}^{n - 1} Pois (k | λ t) \\ = \sum_{k = n}^{\infty} Pois (k | λ t) \\ = P (N_{t} ⩾ n) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) &= 1- \exp (-\lambda t) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \\ &= 1 - \sum_{k=0}^{n-1} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \sum_{k=n}^{\infty} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \mathbb{P} (N_t \geqslant n). \end{aligned} \end{equation}$

Isso nos dá um resultado intuitivo básico para o processo de Poisson. Se o tempo gasto para os primeiros eventos não for maior que , o número de eventos que ocorreram no tempo será pelo menos . Se o tempo entre os eventos segue uma distribuição exponencial, o número de eventos em um determinado momento segue uma distribuição de Poisson. $n$ $t$ $t$ $n$

— Ben - Restabelecer Monica
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