Variação dos resistores em paralelo

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Suponha que você tenha um conjunto de resistores R, todos distribuídos com a média μ e a variação σ.

Considere uma seção de um circuito com o seguinte layout: (r) || (r + r) || (r + r + r). A resistência equivalente de cada parte é r, 2r e 3r. A variação de cada seção seria então $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

Qual é a variação na resistência de todo o circuito?

Após amostrar vários milhões de pontos, descobrimos que a variação é de aproximadamente $.10286\sigma^2$ .

Como chegaríamos a essa conclusão analiticamente?

Edit: Presume-se que os valores de resistência sejam distribuídos normalmente com alguma resistência média re variância $σ^2$ .

probability sampling variance

— lrAndroid
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Não estou convencido de que este seja um modelo apropriado para começar. Você conhece a teoria de Nyquist-Johnson do ruído do circuito térmico? Se você estiver propositalmente fazendo algo diferente, seria interessante ver a motivação. Caso contrário, pode valer a pena considerar um modelo mais padrão. :)

— cardeal

Sim, enquanto escrevia minha tentativa de resposta, também percebi que o modelo aparentemente não é tratável como foi colocado. No entanto, eu pensei que isso era mais um problema acadêmico do que prático (eles estão fazendo simulações, afinal).

— Néstor

Minhas desculpas por ter o sigma como variação, originalmente usei o VAR e alguém o editou.

— LrAndroid 19/07/12

Obrigado pela atualização. Ainda estou interessado na motivação por trás dessa pergunta, se você quiser adicionar um pouco disso à sua pergunta. :)

— cardeal

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A resistência equivalente de todo o circuito resolve Supõe-se que , para algumas variáveis aleatórias independentes , centralizadas e com variância . $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

Sem outras indicações, não se pode calcular a variação de , portanto, para ir além, consideramos o regime em que Então, portanto que Vê-se que Além disso, Assim, no limite $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ , e Esses assintóticos de e o podem ser generalizados para qualquer número de resistências em paralelo, cada uma delas resultante de resistências elementares em série, sendo as resistências elementares independentes e cada uma com média e variação . Então, quando , onde

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— fez
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Não acho que a resposta exata dependa apenas de e . Quando você amostrou, suponho que você deve ter usado alguma distribuição concreta - provavelmente uma distribuição normal? Em qualquer caso, podemos calcular a média e a variação da resistência do circuito em aproximação linear e, em seguida, a forma exata da distribuição é irrelevante. $\mu$ $\sigma^2$

A resistência do circuito é . Na aproximação linear, a média e a variância do inverso de uma variável aleatória com média e variância são e , respectivamente. Assim, temos uma soma de termos com as médias , e e as variações , e , respectivamente, o que resulta em uma média de e uma variação de $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ . Então, tomar o inverso disso produz uma média de e uma variação de , de acordo com o seu resultado. $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— joriki
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Obviamente, isso pressupõe que os resistores sejam variáveis aleatórias independentes.

@ Robert: Sim (as resistências, em vez). Isso já foi assumido no cálculo das variâncias , e na questão, e faz sentido físico (embora se tirarmos todos os resistores do mesmo lote de produção, suas resistências estarão um pouco correlacionadas )

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— joriki

Em um projeto real, é claro, as resistências estão longe de serem independentes. De fato, muito trabalho é feito no layout para fazer com que alguns grupos de elementos se localizem (chamados de '' correspondência '', sem surpresa).

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Você está usando ? Estou mais acostumado a ver isso escrito como .

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat: Você está certo sobre , é claro - eu adotei a notação usada na pergunta sem pensar.

σ^{2}

$\sigma^2$

— joriki

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Isso depende da forma da distribuição para a resistência. Sem conhecer a distribuição, não posso nem dizer a resistência média, apesar de achar que há restrições.

Então, vamos escolher uma distribuição que é tractible: Let ser o desvio padrão da resistência de um resistor. Seja a resistência , com cada sinal ocorrendo com probabilidade . Isso nos dá casos a considerar, ou se combinarmos alguns casos. Obviamente, assumiremos que as resistências são independentes. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

Se escolher e , em seguida, a média é de (ligeiramente menor do que ), e a variância é . Se escolher e , então a variância é . $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

Aqui está uma expansão da série de potências para as razões entre as variações quando a média é e a variação é : . Quando é pequeno, o termo dominante é . $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Embora a pergunta que você faça tecnicamente dependa da distribuição, você provavelmente está interessado em situações em que o desvio padrão é pequeno em comparação com a média, e acho que há um limite bem definido que não depende da distribuição. Linearize a dependência da resistência do circuito em função das resistências de cada peça:

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

Com esse circuito específico, as derivadas parciais em escala são e $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— Douglas Zare
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Isso me lembra o teorema do delta multivariado, ou seja possui média e variância respectivamente, então deve ter variação assintótica como , onde e . A resposta final é igual a @Douglas Zare e OP, ou seja 0,1028 .

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— 21412 VitalStatistix

1

Eu aviso que, como pensei, essa é uma resposta longa , mas talvez alguém possa propor algo melhor a partir da minha tentativa (o que pode não ser o ideal). Além disso, eu interpretei mal a questão dos OPs originais e pensei que ela dizia que as resistências eram distribuídas normalmente. De qualquer forma, deixarei a resposta, mas essa é uma suposição subjacente.

1. Raciocínio físico do problema

Meu raciocínio é o seguinte: lembre-se de que, para resistores paralelos, a resistência equivalente é dada por: $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

onde são as resistências de cada parte do circuito. No seu caso, isso nos dá $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ em que é a parte do circuito com 1 resistência e, portanto, tem uma distribuição normal com média e variância , e pelo mesmo raciocínio é o resistência equivalente da parte do circuito com duas resistências e, finalmente, é a resistência equivalente da parte do circuito com três resistências. Você deve encontrar a distribuição de e a partir daí obter a variação dela.

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2. Obtendo a distribuição de $R_{eq}$

Uma maneira de encontrar a distribuição é observando que: A partir daqui, também observamos que podemos escrever (obtido através do Teorema de Bayes), que, assumindo independência entre , e (que é fisicamente plausível), pode ser escrita como Substituindo isso em e observando que outra consequência da independência entre as três resistências é que

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ , obtemos: Nosso último problema é encontrar , ou seja, a distribuição do rv . Esse problema é análogo ao que encontramos aqui, exceto que agora você substitui na eq. por uma constante, digamos, . Seguindo os mesmos argumentos acima, você pode descobrir que Aparentemente, o resto é substituindo as distribuições conhecidas, exceto por um pequeno problema: a distribuição de pode ser obtida de observando que

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ é gaussiana, então, você precisa essencialmente para encontrar a distribuição da variável aleatória onde e são constantes, e é gaussiano com média e variância . Se meus cálculos estiverem corretos, essa distribuição será: onde, então a distribuição de seria

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ em que e . O fato é que eu não sei se isso é analiticamente tratável para resolver a integral na equação , o que nos levará a resolver o problema, substituindo seu resultado na equação . Pelo menos para mim, a essa hora da noite, não é.

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— Néstor
fonte

Você está assumindo uma distribuição normal, mesmo que a resistência não possa ser negativa? Meu palpite é que isso fará com que a variação do circuito seja divergente.

— Douglas Zare

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Eu sei, isso também me prejudicou, mas na prática depende realmente dos valores de e . Se e , podemos "salvar" o modelo. Em condições normais, a dispersão de uma resistência não é muito alta; portanto, a última suposição é claramente atendida. Isso foi algo que inicialmente me incomodou também quando as pessoas modelaram a altura como uma variável aleatória normal, mas pela mesma razão que eu dei aqui, algumas pessoas aqui no Stack-exchange me fizeram sentir bem com isso :-).

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— Néstor

Hmm, acho que modelar a altura normal é tão ruim que eu a uso como exemplo de uma distribuição que obviamente não é normal. Suponho que talvez não seja terrível se você tiver uma população de homens adultos saudáveis do mesmo background genético. No entanto, eu gostaria de ouvir de um biólogo que está tudo bem. O raciocínio que ouvi muitas vezes de que o tamanho de cada osso é independente é um absurdo total.

— Douglas Zare

Acabei de perceber que as resistências não eram normalmente distribuídas (eu poderia jurar que as li na resposta original dos OPs, mas acho que era apenas minha imaginação).

— Néstor