Eu aviso que, como pensei, essa é uma resposta longa , mas talvez alguém possa propor algo melhor a partir da minha tentativa (o que pode não ser o ideal). Além disso, eu interpretei mal a questão dos OPs originais e pensei que ela dizia que as resistências eram distribuídas normalmente. De qualquer forma, deixarei a resposta, mas essa é uma suposição subjacente.
1. Raciocínio físico do problema
Meu raciocínio é o seguinte: lembre-se de que, para resistores paralelos, a resistência equivalente é dada por:Req
R−1eq=∑iN1Ri,
onde são as resistências de cada parte do circuito. No seu caso, isso nos dáRi
Req=(1R1+1R2+1R3)−1, (∗)
em que é a parte do circuito com 1 resistência e, portanto, tem uma distribuição normal com média e variância , e pelo mesmo raciocínio é o resistência equivalente da parte do circuito com duas resistências e, finalmente, é a resistência equivalente da parte do circuito com três resistências. Você deve encontrar a distribuição de e a partir daí obter a variação dela.
R1μσ2R2∼N(2μ,2σ2)R3∼N(3μ,3σ2)Req
2. Obtendo a distribuição deReq
Uma maneira de encontrar a distribuição é observando que:
A partir daqui, também observamos que podemos escrever
(obtido através do Teorema de Bayes), que, assumindo independência entre , e (que é fisicamente plausível), pode ser escrita como
Substituindo isso em e observando que outra consequência da independência entre as três resistências é que( R e q | R 3 ) p R 1 | 3 ) d R 1 d R 2 d R 3 = ∫ p ( |
p(Req)=∫p(Req,R1,R2,R3)dR1dR2dR3=∫p(R1|Req,R2,R3)p(Req,R2,R3)dR1dR2dR3. (1)
p(Req,R2,R3)=p(R2|Req,R3)p(Req,R3)=p(R2|Req,R3)p(Req|R3)p(R3)
R1R2R3p(Req,R2,R3)=p(R2|Req)p(Req|R3)p(R3).
(1)p(R1|Req,R2,R3)=p(R1|Req), obtemos:
Nosso último problema é encontrar , ou seja, a distribuição do rv . Esse problema é análogo ao que encontramos aqui, exceto que agora você substitui na eq. por uma constante, digamos, . Seguindo os mesmos argumentos acima, você pode descobrir que
Aparentemente, o resto é substituindo as distribuições conhecidas, exceto por um pequeno problema: a distribuição de pode ser obtida de observando que
p(Req)=∫p(R1|Req)p(R2|Req)p(Req|R3)p(R3)dR1dR2dR3=∫p(Req|R3)p(R3)dR3. (2)
p(Req|R3)Req|R3R3(∗)r3p(Req|R3)=∫p(Req|R2,R3)p(R2)dR2. (3)
Req|R2,R3(∗)X1 é gaussiana, então, você precisa essencialmente para encontrar a distribuição da variável aleatória
onde e são constantes, e é gaussiano com média e variância . Se meus cálculos estiverem corretos, essa distribuição será:
onde,
então a distribuição de seria
W=(1X+a+b)−1,
abXμσ2p(W)=1[1−W(a+b)]212πσ2−−−−√exp(−X(W)−μ2σ2),
X(W)=1W−1−a−b,
Req|R2,R3a=1/R2b=1/R3(3)p(Req|R2,R3)=1[1−Req(a+b)]212πσ2−−−−√exp(−X(Req)−μ2σ2),
em que e . O fato é que eu não sei se isso é analiticamente tratável para resolver a integral na equação , o que nos levará a resolver o problema, substituindo seu resultado na equação . Pelo menos para mim, a essa hora da noite, não é.
a=1/R2b=1/R3(3)(2)