Uma distribuição de articulação 3D pode ser reconstruída por marginais 2D?

Suponha que sabemos que p (x, y), p (x, z) e p (y, z), é verdade que a distribuição conjunta p (x, y, z) é identificável? Ou seja, existe apenas um possível p (x, y, z) que tem acima dos marginais?

distributions mathematical-statistics

— user1466742
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Relacionado: É possível ter um par de variáveis aleatórias gaussianas para as quais a distribuição conjunta não é gaussiana? (Que pertence ao conjunto 2D vs marginais 1D, mas a resposta e a intuição é em última análise o mesmo, além de as imagens em @ resposta do cardeal são lindas.)

— gung - Reintegrar Monica

@gung O relacionamento é um pouco remoto. A sutileza por trás dessa pergunta é o pensamento de que uma cópula nos mostra como desenvolver distribuições bivariadas com determinados marginais. Mas se especificarmos três marginais bivariados para uma distribuição trivariada, deve haver restrições adicionais bastante severas nessa distribuição trivariada: as marginais univariadas devem ser consistentes. A questão então é se essas restrições são suficientes para determinar a distribuição trivariada. Isso a torna uma questão inerentemente mais do que bidimensional.

— whuber

@whuber, entendo que você esteja dizendo que os marginais 2D são mais restritivos que os marginais 1D, o que é razoável. O que quero dizer é que, em ambas as respostas, os marginais não podem restringir suficientemente a distribuição conjunta, e a resposta do cardeal ali torna a questão muito fácil de ver. Se você acha que isso é uma distração demais, eu posso excluir esses comentários.

— gung - Restabelece Monica

@gung Estou tentando dizer algo completamente diferente e não é fácil de ver (a menos que você seja muito bom em visualizações 3D). Você se lembra da imagem da capa de Godel, Escher, Bach, de Hofstadter ? (É facilmente encontrado pelo Google; talvez eu expanda minha resposta para incluí-la.) A existência desses dois sólidos diferentes com conjuntos de projeções idênticos nos eixos das coordenadas é bastante surpreendente. Isso captura a ideia de que um conjunto completo de "visualizações" ortogonais em 2D de um objeto 3D não determina necessariamente o objeto. Esse é o cerne da questão.

— whuber

@Gung permita-me tentar mais uma vez. Sim, a ideia de que os marginais não determinam completamente uma distribuição é comum a ambos os casos. A complicação neste - o que eu acredito que o torna tão diferente do outro - é que os marginais na situação atual não são de forma alguma independentes: cada marginal 2D determina dois marginais 1D , bem como uma forte relação entre eles. marginais. Conceitualmente, então, essa pergunta pode ser reformulada como "por que as dependências dos marginais 2D não são 'transitivas' ou 'cumulativas' no sentido de determinar a distribuição 3D completa?"

— whuber

Respostas:

No. talvez a mais simples preocupações contra-exemplo a distribuição de três independente variáveis , para os quais todas as oito possíveis resultados a partir de por meio de têm a mesma probabilidade. Isso uniformiza todas as quatro distribuições marginais em $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ . $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

Considere as variáveis aleatórias que são distribuídas uniformemente no conjunto . Estes têm os mesmos marginais que $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ . $(X_1,X_2,X_3)$

A capa de Godel, Escher, Bach, de Douglas Hofstadter , sugere as possibilidades.

As três projeções ortogonais (sombras) de cada um desses sólidos nos planos de coordenadas são as mesmas, mas os sólidos obviamente diferem. Embora as sombras não sejam exatamente as mesmas que as distribuições marginais, elas funcionam de maneira semelhante para restringir, mas não determinar completamente , o objeto 3D que as projeta.

— whuber
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+1 é claro, mas se bem me lembro, o

remonta a Bernstein e talvez ainda mais cedo. Eu o usei extensivamente no passado para discutir a porta lógica Exclusive-OR, onde os eventos em que as entradas são 1 e a saída é 1 são eventos independentes em pares (para entradas com probabilidade igual a 0 ou 1), mas não são independentes entre si. eventos

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

— Dilip Sarwate

No mesmo espírito que a resposta do whuber,

Considere variáveis aleatórias conjuntas contínuas com função de densidade articular $U, V, W$ ondeindica a função de densidade normal padrão.

\begin{aligned} (1) & f_{você, V, W} (você, v, W) = {\begin{cases} 2 ϕ (você) ϕ (v) ϕ (W) & E se você \geq 0 0, v \geq 0 0, W \geq 0 0, \\ ou se você < 0 0, v < 0 0, W \geq 0 0, \\ ou se você < 0 0, v \geq 0 0, W < 0 0, \\ ou se você \geq 0 0, v < 0 0, W < 0 0, \\ 0 0 & de outra forma \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

$U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ são um exemplo de variáveis aleatórias normais padrão independentes em pares, mas não mutuamente independentes. Veja esta minha resposta para mais detalhes.

$X,Y,Z$

\begin{matrix} 2) & f_{X, Y, Z} (você, v, W) = ϕ (você) ϕ (v) ϕ (W), você, v, W \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$

(1)

$(1)$

— Dilip Sarwate
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Você está basicamente perguntando se a reconstrução do CAT é possível usando apenas imagens nos 3 eixos principais.

Não é ... caso contrário, é o que eles fariam. :-) Veja a transformação Radon para mais literatura.

— user541686
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Eu gosto da analogia. Dois aspectos são preocupantes, no entanto. Uma é a lógica: apenas porque a transformação Radon (ou alguma outra técnica) usa mais dados do que os três marginais não implica logicamente que realmente precisa de todos esses dados. Outro problema é que as tomografias são inerentemente bidimensionais: elas reconstroem um corpo sólido, fatia por fatia. (É verdade que a transformação Radon é definida em três dimensões e mais altas.) Portanto, elas realmente não chegam ao cerne da questão: já sabemos que os marginais univariados não são suficientes para reconstruir uma distribuição 2D.

— whuber

@whuber: Eu acho que você não entendeu o que eu estava dizendo ... e o 2D vs 3D é um arenque vermelho. Eu estava tentando dizer que o inverso da transformação Radon requer a integral completa para sua inversão (ou seja, se você literalmente apenas olhar para a fórmula de inversão, verá que a inversão requer uma integral em todos os ângulos, e não uma soma sobre os ângulos d ). A tomografia computadorizada foi apenas para ajudar o OP a ver que é o mesmo problema que o CT.

— user541686

É aí que a lógica quebra: não é o mesmo problema que o CT. Seu argumento soa como um análogo de "todo veículo que vejo na estrada usa pelo menos quatro rodas. Portanto, o transporte terrestre com menos de quatro rodas é impossível, pois, se fosse possível, as pessoas usariam menos rodas para economizar nos custos dos pneus. Se você duvida, basta olhar as plantas de um carro. " Aliás, a transformação implementada em um scanner de TC não se integra em todos os ângulos - a medida do conjunto de ângulos que ele usa é zero!

— whuber

@ whuber: Esqueça a coisa do CT por um momento. Você concorda com o resto da lógica?

— user541686