Onde estão mais pontos em uma bola de alta dimensão uniformemente distribuída?

Eles devem estar perto do meio (origem) ou fechar sua superfície?

Como apontado por @ Xi'an, a pergunta do OP é na verdade sobre uma distribuição uniforme na bola dimensional do raio , o conjunto de pontos à distância não mais que do centro da bola e não sobre um uniforme distribuição na hiperesfera dimensional que é a superfície da bola (o conjunto de pontos à distância exatamente do centro). Observe que está assumindo que a densidade conjunta das variáveis ​​aleatórias tem valor constante onde$n$$r$$r$$n$ $r$$n$$V^{-1}$$V$é o volume da bola. Isso não é o mesmo que assumir que a distância do ponto aleatório é distribuída uniformemente em (ou para aqueles que não desejam incluir a superfície da hiperesfera).$[0,r]$$[0,r)$

Quase todo o volume de uma bola dimensional fica perto da superfície. Isso ocorre porque é proporcional à ésima potência do raio da bola e é uma função que aumenta muito rapidamente. Mesmo no espaço , do volume fica mais próximo da superfície do que da origem, e essa fração se aproxima cada vez mais de à medida que aumenta. Alternando o cálculo, para uma proporção fixa , digamos , do volume está em uma concha de raio interno$n$$V$$n$$r^n$$3$$\frac 78 = 1 - \left(\frac 12\right)^3$$1$$n$$\alpha$$\alpha=0.95$$100\alpha\%$$\sqrt[n]{\alpha}r$ raio externo e, portanto, , a espessura relativa do shell, diminui para com o aumento de para qualquer opção de .$r$$1-\sqrt[n]{\alpha}$$0$$n$$\alpha \in (0,1)$