Distribuição da relação Gaussiana: Derivadas em 's e s

Estou trabalhando com duas distribuições normais independentes e , com médias e e variações e .$X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Eu sou interessado na distribuição do seu rácio . Nem nem têm uma média de zero, então não é distribuído como um Cauchy.$Z=X/Y$$X$$Y$$Z$

Preciso encontrar o CDF de e, em seguida, obter a derivada do CDF com relação a , , e .$Z$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Alguém conhece um artigo onde estes já foram calculados? Ou como fazer isso sozinho?

Encontrei a fórmula para o CDF em um artigo de 1969 , mas tomar esses derivados será definitivamente uma dor enorme. Talvez alguém já tenha feito isso ou saiba como fazê-lo facilmente? Eu preciso principalmente conhecer os sinais desses derivados.

Este artigo também contém uma aproximação analiticamente mais simples se for principalmente positivo. Eu não posso ter essa restrição. No entanto, talvez a aproximação tenha o mesmo sinal que a derivada verdadeira mesmo fora da faixa de parâmetros?$Y$

Alguns trabalhos relacionados:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Considere usar um pacote matemático simbólico como o Mathematica, se você tiver uma licença, ou o Sage, se não tiver.

Se você está apenas fazendo um trabalho numérico, também pode considerar a diferenciação numérica.

Embora tedioso, parece direto. Ou seja, todas as funções envolvidas têm fácil calcular derivativos. Você pode usar diferenciação numérica para testar seu resultado quando terminar, para ter certeza de que tem a fórmula certa.

Esse é o tipo de problema que é muito fácil numericamente e também menos propenso a erros. Como você diz que precisa apenas dos sinais, presumo que aproximações numéricas precisas sejam mais do que suficientes para suas necessidades. Aqui está um código com um exemplo da derivada contra : $\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}