As variáveis aleatórias seguem as mesmas regras algébricas que os números comuns?

Nos comentários da minha resposta a uma pergunta recente sobre a soma de variáveis aleatórias , deparei-me com um link para o artigo da Wikipedia sobre a distribuição da taxa e observei a seguinte alegação peculiar:

As regras algébricas conhecidas com números comuns não se aplicam à álgebra de variáveis aleatórias. Por exemplo, se um produto é e uma proporção é , isso não significa necessariamente que as distribuições de e são iguais. $C = AB$ $D=C/A$ $D$ $B$

Esta reivindicação está no artigo desde 2007 . Foi adicionado lá pelo mesmo editor aparentemente respeitável que originalmente criou o artigo e contribuiu com grande parte de seu conteúdo original e atual, e é aparentemente citado no livro The Algebra of Random Variables, de Melvin D. Springer, publicado em 1979 (embora seja não é 100% claro se o marcador de citação que aparece mais adiante no mesmo parágrafo também serve para cobrir essa reivindicação).

Obviamente, a afirmação parece absurda para mim. Eu poderia editá-lo fora do artigo da Wikipedia, mas, dado que ele permanece sem contestação por mais de 10 anos, achei que deveria ter certeza de que não sou eu quem está enganado aqui. Não tendo o livro de Springer à mão para checar a (possível) citação, imaginei pedir ajuda aos especialistas aqui. Em particular, como a afirmação como afirmada realmente consiste em duas partes, minha pergunta também:

Parte 1: As variáveis aleatórias seguem as mesmas regras algébricas que os números comuns ou não (em algum sentido) não? Se não, como as regras diferem? Depende do formalismo (geralmente aceito) que se adota?

Parte 2: É claro que, mesmo para números comuns, nem sempre é igual a, poisnem sequer é definido quando. Essa diferença trivial é aúnicamaneira pela qualepodem falhar em ser iguais, mesmo quando são variáveis aleatórias? Em particular, a seguinte declaração sempre se aplica a variáveis aleatórias (com valor real ou complexo): $D = \frac{AB}{A}$ $B$ $D$ $A = 0$ $D$ $B$

UMA \neq 0 0 ⟹ \frac{UMA B}{UMA} = B .

$A \ne 0 \implies \frac{AB}{A} = B.$

Parte 3 (bônus): O que o livro de Springer realmente diz sobre isso, e há algo lá que, em certo sentido, poderia ser usado para apoiar a afirmação citada acima? É, como eu presumo, realmente considerado uma fonte confiável de alegações sobre matemática e estatística convencional?

— Ilmari Karonen
fonte

Um comentário de matemática na Parte 2: É sempre o caso que

quando é definida , ou seja, não a equação é o problema, mas a mera definição! Nesse sentido, assuma que

é um VR tal que

para todos

. Então

têm a mesma distribuição simplesmente porque são a mesma variável aleatória. Uma variável aleatória é simplesmente uma função de algum espaço de probabilidade

a b / b = a

$ab/b = a$

B

$B$

B (ω) \neq 0

$B(\omega) \neq 0$

ω

$\omega$

A B / B

$AB/B$

B

$B$

Ω

$\Omega$ em qualquer conjunto (os reais, se você quiser fazer esse tipo de álgebra em um ambiente natural) ... Também: O que exatamente você quer dizer com

? para todos

? Apenas para alguns ...?

A \neq 0

$A \neq 0$

ω

$\omega$

— Fabian Werner

(+1) A linguagem desse artigo da Wikipedia é ruim, mas sua intenção é clara: significa discutir a álgebra de distribuições, não variáveis aleatórias em si. Se você optar por editá-lo, considere esclarecer o idioma sem alterar a ideia que ele está tentando transmitir.

— whuber

@FabianWerner: Estou usando a convenção (AFAIK bastante padrão) de que podemos omitir o

ao escrever o rv

, mas é claro que pode não ser o que o artigo da Wikipedia está fazendo. Você pode estar em algo lá.

(ω)

$(\omega)$

A (ω)

$A(\omega)$

— Ilmari Karonen 7/0318

@Carl: Por que você acha que eles seriam vetores de qualquer tipo? A divisão por um vetor geralmente não é definida de qualquer maneira, portanto, para que a expressão faça algum sentido,

deve ser um escalar (ou mais precisamente uma função com valor escalar do espaço de probabilidade, se você quiser seguir rigorosamente o formalismo padrão conforme observado por Fabian Werner acima). Suponho que

poderia ser um vetor, embora não veja nenhuma razão específica para supor que seja.

A

$A$

B

$B$

— Ilmari Karonen 7/0318

@Carl: Uh, não. Pelo menos não, a menos que você esteja trabalhando em um espaço de probabilidade de três elementos (geralmente, os elementos ou mesmo o tamanho do espaço de probabilidade

não são explicitamente especificados, pois é realmente apenas uma ferramenta formal para trabalhar com variáveis cujos valores são incertos) e está usando uma notação engraçada para funções nesse espaço.

Ω

$\Omega$

— Ilmari Karonen 7/0318

A álgebra de variáveis aleatórias (ARV) é uma extensão da álgebra usual dos números "álgebra do ensino médio". Isso deve ser assim porque os números podem ser incorporados no ARV como rv iguais a uma constante com probabilidade 1. Portanto, não pode haver nenhuma inconsistência, mas podem ser novas propriedades que não dizem nada sobre números. No ARV, igualdade é igualdade na distribuição ; portanto, é realmente uma álgebra de distribuições. Porém, para rv é constante com probabilidade 1, essa é uma extensão da igualdade de números no sentido usual.

$X$ $X^{-1}$ $-1$ $X$ $X$ $1/X$

— kjetil b halvorsen
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