Ponto técnico sobre convergência com expectativa condicional

Eu tenho uma sequência de variáveis não negativas , como: $X_n$

E (X_{n} | C_{n}) = \frac{C_{n}}{n^{2}}

$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$

onde é uma sequência de variáveis aleatórias convergindo quase certamente para . $C_n$ $1$

Posso concluir que tende a 0 quase certamente? $X_n$

Nota: você pode substituir por qualquer sequência com soma finita. A questão permanece essencialmente a mesma e a resposta fornecida por Jason funciona da mesma forma (veja o argumento de Borel-Cantelli). $\frac{1}{n^2}$

probability convergence conditional-expectation

— Benoit Sanchez
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Sim, quase com certeza. $X_{n} \to 0$ O argumento que tenho é um pouco complicado, então tenha paciência comigo.

Primeiro, considere os eventos . Pela convergência quase certa de , segue-se que , e desde , temos . Portanto, basta mostrar que como dentro de , para qualquer . $F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$ $C_{n}$ $P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$ $F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$ $P(F_{k}) \to 0$ $X_{n} \to 0$ $F_{k}^{c}$ $k$

Agora corrija um um . Usando a notação para representar , temos para Esse é o tipo da parte principal. (Observe também que usamos a não-negatividade de na primeira etapa, para passar de para o evento maior ) A partir daqui, precisamos apenas de alguns argumentos teóricos de medidas razoavelmente comuns. $k$ $\varepsilon > 0$ $E[X; A]$ $E[X 1_{A}]$ $n \geq k$

E [X_{n}; F_{k}^{c}] \leq E [X_{n}; C_{n} \leq 2] = E [E (X_{n} | C_{n}); C_{n} \leq 2] = E [C_{n} / n^{2}; C_{n} \leq 2] \leq 2 / n^{2} .

$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$

X_{n}

$X_{n}$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

C_{n} \leq 2

$C_{n} \leq 2$

O limite acima, juntamente com a não-negatividade de , implica que (para ), para que $X_{n}$ $P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$ $n \geq k$

\sum_{n \geq k} P (F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε}) < \infty .

$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$

Pelo lema de Borel-Cantelli, agora podemos dizer que o evento tem probabilidade zero. Como era arbitrário, isso leva como em .

F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε for infinitely many n}

$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$

ε

$\varepsilon$

X_{n} \to 0

$X_{n} \to 0$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

— Jason
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Isso pode ser ligeiramente alterado para mostrar que, para qualquer expoente em como , , me parece.

α

$\alpha$

n

$n$

α > 1

$\alpha > 1$

X_{n} \to 0 a.s.

$X_n \to 0 \space \text{a.s.}$

— jbowman

Muito obrigado. Por você quer dizer ou ?

E (X; A)

$E(X;A)$

E (X | A)

$E(X|A)$

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

Você quer dizer :-) Talvez você deva mencionar. Tudo parece correto para mim, ótimo! Honestamente, não acho que exista uma prova mais simples.

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

Certo, Benoit, eu quis dizer . Vou fazer uma edição para esclarecer isso.

E (X 1_{A})

$E(X 1_{A})$

— Jason

Defina . Então e . Pela desigualdade de Markov, que possui soma finita, então por Borel Cantelli, e quase certamente. $Z_n=X_n/C_n$ $E[Z_n]=1/n^2$ $Z_n\ge 0$ $P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$ $P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$ $Z_n\to 0$

Se quase certamente e quase certamente, quase certamente. $Z_n\to0$ $C_n\to 1$ $X_n=Z_nC_n\to 0$

— jlewk
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