Se e são variáveis ​​normais independentes, cada uma com média zero, então também é uma variável Normal

Estou tentando provar a afirmação:

Se e são variáveis ​​aleatórias independentes,$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$$Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

então também é uma variável aleatória Normal.$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Para o caso especial (digamos), temos o resultado bem conhecido de que sempre que e são variáveis independentes . De fato, é mais conhecido que são variáveis independentes .$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$$X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

Uma prova do último resultado segue usando a transformação que e u = \ frac {r} {2} \ sin (2 \ theta), v = \ frac {r} {2} \ cos (2 \ theta) . De fato, aqui U = \ frac {XY} {\ sqrt {X ^ 2 + Y ^ 2}} e V = \ frac {X ^ 2-Y ^ 2} {2 \ sqrt {X ^ 2 + Y ^ 2} } . Tentei imitar essa prova do problema em questão, mas ela parece estar confusa.$(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$U=X$u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ V=X2-Y$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$$V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

Se não cometi nenhum erro, então para $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ acabo com a densidade da junta $(U,V)$ como

Eu tenho o multiplicador acima, pois a transformação não é individual.$2$

Portanto, a densidade de seria dada por , que não é prontamente avaliada.∫ R f U , V ( u , v $U$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Agora, estou interessado em saber se existe uma prova em que só posso trabalhar com e não preciso considerar um para mostrar que é Normal. Encontrar o CDF de não parece tão promissor para mim no momento. Eu também gostaria de fazer o mesmo no caso .V U U σ 1 = σ 2 = $U$$V$$U$$U$$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

Ou seja, se e são variáveis independentes , desejo mostrar que sem usar uma alteração de variáveis. Se de alguma forma eu posso argumentar que , então terminei. Então, duas perguntas aqui, o caso geral e o caso particular.Y N ( 0 , σ 2 ) Z = 2 X $X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$Zd=$Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$Z\stackrel{d}{=}X$

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X,Y∼N(0,1$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ quando independentemente$X,Y\sim N(0,1)$ .

Dado que são iid , mostre que são iidN ( 0 , 1 ) X $X,Y$$N(0,1)$ N(0,$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$N(0,\frac{1}{4})$ .

Editar.

Esse problema é de fato devido a L. Shepp, como descobri nos exercícios de Uma Introdução à Teoria das Probabilidades e Suas Aplicações (Vol. II) de Feller, junto com uma possível dica:

Certamente, e tenho a densidade de em mãos.$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$$\frac{1}{X^2}$

Vamos ver o que eu poderia fazer agora. Além disso, uma pequena ajuda com a integral acima também é bem-vinda.

A solução original do problema de Shepp usa o conceito de propriedade estável da lei, que parece um pouco avançada para mim no momento. Portanto, não pude compreender a dica dada no exercício que citei no meu post. Eu acho que uma prova envolvendo apenas a variável única e não usar uma alteração de variáveis ​​é difícil de ser apresentada. Então, eu compartilho três documentos de acesso aberto que achei que fornecem uma solução alternativa para o problema:$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

• Uma observação sobre as funções normais das variáveis ​​aleatórias normais

• Funções normais de variáveis ​​aleatórias normais

• Resultado de Shepp

O primeiro me convenceu a não ir para o caminho de integração I levou com que a escolha da variável para derivar a densidade de . É o terceiro artigo que parece algo que eu posso seguir. Faço um breve esboço da prova aqui:$V$$U$

Assumimos sem perda de generalidade e configuramos . Agora, observando que e são independentes, temos a densidade de juntas de . Nós o denotamos por .σ 2 2 = σ 2 X 2 ~ χ 2 1 Y $\sigma_1^2=1$$\sigma_2^2=\sigma^2$$X^2\sim\chi^2_1$ (X2,Y2)fX2,Y$\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$$(X^2,Y^2)$$f_{X^2,Y^2}$

Considere a transformação modo que e . Portanto, temos a densidade conjunta de . Vamos denotá-lo por . Seguindo o procedimento padrão, integramos wrt para para obter a densidade marginal de .W = X 2 Y $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ Z=X2+Y$W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ (W,Z)fW,ZfW,ZzfW$Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$$(W,Z)$$f_{W,Z}$$f_{W,Z}$$z$$f_W$$W$

Concluímos que é uma variável gama com parâmetros e , de modo que . Observamos que a densidade de é simétrica em torno de . Isso implica que e, portanto, .$W=U^2$ 2(1+$\frac{1}{2}$(1+$2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ L 0 ( 1 + $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$$U$$0$U∼N(0, ( $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$$U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

de acordo com isso

Transformando duas variáveis ​​aleatórias normais

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$X Y ⇔ q r . e são independentes e são independentes.
$X$$Y$$\Leftrightarrow$ $\theta$$r$

Também que desde que $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$$f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$$z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

semelhante para os outros.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

para que possamos mostrar:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ e$Y=\sigma r \sin(\theta)$

então

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

mostrar independente

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ e fácil de dizer que são independentes.