Por que nos importamos se um processo de MA é invertível?

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Estou tendo problemas para entender por que nos importamos se um processo de MA é invertível ou não.

Corrija-me se estiver errado, mas posso entender por que nos importamos se um processo de RA é causal ou não, ou seja, se podemos "reescrevê-lo", por assim dizer, como a soma de alguns parâmetros e ruído branco - ou seja, um processo de média móvel. Nesse caso, podemos ver facilmente que o processo de RA é causal.

No entanto, estou tendo problemas para entender por que nos importamos se podemos ou não representar um processo de MA como um processo de AR, mostrando que é invertível. Eu realmente não entendo por que nos importamos.

Qualquer idéia seria ótima.

— agra94
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casual

causal

\to

$\rightarrow$

— Richard Hardy

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A inversibilidade não é realmente um grande problema, porque quase qualquer modelo de MA $(q)$ gaussiano e não invertível pode ser alterado para um MA invertível $(q)$ representa o mesmo processo, alterando os valores dos parâmetros. Isso é mencionado na maioria dos livros didáticos para o modelo MA (1), mas é verdade de maneira mais geral.

Como exemplo, considere o modelo MA (2)

\begin{matrix} (1) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 2 B) w_{t}, \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$ onde

w_{t}

$w_t$ é ruído branco com variação

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$ . Este não é um modelo invertível porque

θ (B)

$\theta(B)$ tem uma raiz igual a 0,5 dentro do círculo unitário. No entanto, considere o modelo alternativo MA (2) obtido alterando essa raiz para seu valor recíproco de 2, de modo que o modelo tenha a forma

\begin{matrix} (2) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 0.5 B) w_{t}^{'} \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$ onde

w_{t}^{'}

$w_t'$ tem variância

σ_{w}^{' 2} = 4 σ_{w}^{2}

$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$ . Você pode facilmente verificar se os modelos (1) e (2) possuem as mesmas funções de autocovariância e, portanto, especificar a mesma distribuição para os dados se o processo for gaussiano.

Para tornar o modelo identificável de modo que exista um mapeamento um a um de $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ para a distribuição dos dados, o espaço do parâmetro é, portanto, por convenção restrito ao inversível modelos. Essa convenção em particular é preferida, pois o modelo pode ser colocado diretamente na forma de AR $(\infty)$ com os coeficientes $\pi_1,\pi_2,\dots$ satisfazendo a equação da diferença simples $\theta(B)\pi_i=0$ .

Se não impormos essa restrição no espaço do parâmetro, a função de probabilidade de um MA $(q)$ em geral teria até $2^q$ ótimos locais (se o polinômio do MA tiver $q$ raízes reais distintas), o que é algo que queremos evitar .

Você sempre pode mover raízes de dentro para fora do círculo unitário com uma alteração correspondente na variação de ruído branco usando a técnica acima, exceto nos casos em que o polinômio MA possui uma ou mais raízes exatamente no círculo unitário.

— Jarle Tufto
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Muito interessante!

— Richard Hardy

Sim, não sei por que isso não é afirmado mais claramente nos livros didáticos. Você pode ver esse "truque" sendo usado pela função maInvertdentro da arimafunção de R para garantir que as estimativas dos parâmetros correspondam a um modelo invertível.

— Jarle Tufto 28/02/19

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$X_t$

X_{t} = θ (B) Z_{t}

$X_t = \theta(B)Z_t$

ξ (B) X_{t} = Z_{t}

$\xi(B)X_t = Z_t$

ξ (B)

$\xi(B)$

Além disso, a julgar pelo título na referência no primeiro link, esses autores têm muito mais a dizer sobre esse assunto. Infelizmente, não consigo encontrar uma cópia desse livro / papel na internet. Se alguém puder encontrar isso, entre em contato.

— Taylor
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